Corrigendum to “Optimal decay rates for a chemotaxis model with logistic growth, logarithmic sensitivity and density-dependent production/consumption rate” [J. Differential Equations (2020) 1379–1411]
Corrigendum to “Optimal decay rates for a chemotaxis model with logistic growth, logarithmic sensitivity and density-dependent production/consumption rate” [J. Differential Equations (2020) 1379–1411]
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对“具有逻辑增长、对数敏感性和密度依赖的生产/消耗率的趋化模型的最佳衰减率”的勘误[J.
DOI：
10.1016/j.jde.2020.04.027
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发表时间：
2020
影响因子：
2.4
通讯作者：
Zhao, Kun
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Zeng, Yanni;Zhao, Kun
在文[1]的第5节（定理2.2的证明）中，假定（5.14）中ε> 0。虽然它适用于ε> 0，但该方法需要针对ε= 0的情况进行修改。本勘误表的目的是提供一种替代方法，它取代引理5.2和引理5.3的证明，并且对ε= 0和ε> 0都有效。根据[1]的（5.11），（5.10），（5.4）和（1.13），<$（x，t）= s（x，t）− s= s [exp <$（D × <$（x μ K D x，x μ K D t））− 1]。根据平均值定理，（1）|n（x，t）|≤ C|（χ μ K D x，χ μ K D t）|expr（D| χ|其中，C= s D/| χ|是一个常数。我们的目标是证明（2）n = 1 ≤ C（t+ 1）− 1 4，t≥ 2，其中常数C> 0取决于系统参数和初始数据。一旦我们证明了（2），Sobolev不等式和关于v的估计，见[1]中的（4.11），（1.13），（2.3）和（2.4），意味着（3）<$L∞（t）≤ C <$1 2 <$v <$1 2≤ C（t+ 1）− 1 2，t≥ 2。将（2）和（3）代入（1）得到（4）当t≥ 2 D/（χ μ K）时，当t≤ 2D/（χ μ K）时，由于[1]中的引理5.1限制了λ λ（t）的界，所以t≤ 2D/（χ μ K）是平凡的.方程（4）是[1]中的（5.24），因此其中的引理5.3是合理的。根据（1）和（3），引理5.2也是合理的。[1]中的其余证明（在引理5.3之后）仍然有效。
In Section 5 of our previous paper [1](the proof of Theorem 2.2), it is presumed ε> 0 in (5.14) therein. While it works for ε> 0, the approach needs to be modified for the case ε= 0. The purpose of this corrigendum is to provide an alternative, which is to replace the proofs of Lemma 5.2 and Lemma 5.3, and is valid for both ε= 0 and ε> 0.From (5.11),(5.10),(5.4) and (1.13) of [1], ϕ (x, t)= s (x, t)− s= s [exp(D χ ψ (χ μ K D x, χ μ K D t))− 1]. Thus by the mean value theorem,(1)| ϕ (x, t)|≤ C| ψ (χ μ K D x, χ μ K D t)| exp(D| χ|‖ ψ‖ L∞(χ μ K D t)), where C= s D/| χ| is a constant. Our goal here is to prove (2)‖ ψ‖(t)≤ C (t+ 1)− 1 4, t≥ 2, with a constant C> 0 depending on the system parameters and initial data. Once we have proved (2), the Sobolev inequality and the estimates on v, see (4.11),(1.13),(2.3) and (2.4) in [1], imply (3)‖ ψ‖ L∞(t)≤ C‖ ψ‖ 1 2‖ v‖ 1 2≤ C (t+ 1)− 1 2, t≥ 2. Substituting (2) and (3) into (1) gives us (4)‖ ϕ‖(t)≤ C‖ ψ‖(χ μ K D t)≤ C (t+ 1)− 1 4 for t≥ 2 D/(χ μ K). The case t≤ 2 D/(χ μ K) is trivial since‖ ϕ‖(t) is bounded by Lemma 5.1 in [1]. Equation (4) is (5.24) in [1] hence Lemma 5.3 therein is justified. Lemma 5.2 is also justified in view of (1) and (3). The rest of the proof (after Lemma 5.3) in [1] stays valid.
影响因子：
2.4
作者：
Yanni Zeng;Kun Zhao
通讯作者：
Yanni Zeng;Kun Zhao