Eulerian dynamics with a commutator forcing II: Flocking
Eulerian dynamics with a commutator forcing II: Flocking
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具有换向器强迫的欧拉动力学 II：植绒
DOI：
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
E. Tadmor
中科院分区：
文献类型：
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作者：
R. Shvydkoy;E. Tadmor
我们继续研究[11]中引入的一维类欧拉方程，由具有 \begin{document} $[{\mathcal L}_φ, u](ρ)$ \end{document} 形式的换向器结构的力驱动，其中 \begin{document} $u$ \end{document} 是速度场，而 \begin{document} ${\mathcal L}_φ$ \end{document} 属于一个相当一般的类卷积算子的数量取决于交互内核 \begin{document} $φ$ \end{document} 。在本文中，我们根据快速聚集来量化此类系统的大规模行为，对于内核的两个典型子类：有界正 \begin{document} $φ$ \end{document} 's 和单数 \begin{document} $φ(r) = r^{-(1+α)}$ \end{document} 顺序 \begin{document} $αε [1, 2)$ \end{document} 与分数的作用相关联拉普拉斯 \begin{document} ${\mathcal L}_φ=-(-\partial_{xx})^{α/2}$ \end{document} 。具体来说，我们证明了快速速度对齐，因为速度 \begin{document} $u(·, t)$ \end{document} 接近恒定状态， \begin{document} $u \to \bar{u}$ \end{document} ，斜率和曲率边界呈指数衰减 \begin{document} $|{u_x}( \cdot ,t){|_\infty } + |{u_{xx}}( \cdot ,t){|_\infty }\lesssim{e^{ - \delta t}}$ \end{文档} 。对齐伴随着密度以指数方式快速聚集到固定行进状态 \begin{document} $ρ(·, t) -{ρ_{∞}}(x -\bar{u} t) \to 0$ \end{document} 。
We continue our study of one-dimensional class of Euler equations, introduced in [ 11 ], driven by a forcing with a commutator structure of the form \begin{document} $[{\mathcal L}_φ, u](ρ)$ \end{document} , where \begin{document} $u$ \end{document} is the velocity field and \begin{document} ${\mathcal L}_φ$ \end{document} belongs to a rather general class of convolution operators depending on interaction kernels \begin{document} $φ$ \end{document} . In this paper we quantify the large-time behavior of such systems in terms of fast flocking, for two prototypical sub-classes of kernels: bounded positive \begin{document} $φ$ \end{document} 's, and singular \begin{document} $φ(r) = r^{-(1+α)}$ \end{document} of order \begin{document} $α∈ [1, 2)$ \end{document} associated with the action of the fractional Laplacian \begin{document} ${\mathcal L}_φ=-(-\partial_{xx})^{α/2}$ \end{document} . Specifically, we prove fast velocity alignment as the velocity \begin{document} $u(·, t)$ \end{document} approaches a constant state, \begin{document} $u \to \bar{u}$ \end{document} , with exponentially decaying slope and curvature bounds \begin{document} $|{u_x}( \cdot ,t){|_\infty } + |{u_{xx}}( \cdot ,t){|_\infty }\lesssim{e^{ - \delta t}}$ \end{document} . The alignment is accompanied by exponentially fast flocking of the density towards a fixed traveling state \begin{document} $ρ(·, t) -{ρ_{∞}}(x -\bar{u} t) \to 0$ \end{document} .