A simple proof of reflexivity and separability of N^{1,p} Sobolev spaces
A simple proof of reflexivity and separability of N^{1,p} Sobolev spaces
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DOI：
10.54330/afm.127419
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发表时间：
2022-08
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Ryan Alvarado;P. Hajłasz;Luk'avs Mal'y
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Ryan Alvarado;P. Hajłasz;Luk'avs Mal'y
我们给出了Cheeger的一个著名定理的初等证明，该定理指出，如果度量测度空间\（X\）支持\（p\）-Poincaré不等式，则\（N^{1，p}（X）\）Sobolev空间是自反的且可分的，只要\（p\in（1，\infty）\）。当p=1时，证明了空间的可分性.我们的证明是基于一个简单的构造等价的范数\（N^{1，p}（X）\），\（p\in [1，\infty）\），即一致凸时\（p\in（1，\infty）\）。最后，我们显式构造了一个泛函，它是逐点可比的最小\（p\）-弱上梯度，当\（p\in（1，\infty）\）。
We present an elementary proof of a well-known theorem of Cheeger which states that if a metric-measure space \(X\) supports a \(p\)-Poincaré inequality, then the \(N^{1,p}(X)\) Sobolev space is reflexive and separable whenever \(p\in (1,\infty)\). We also prove separability of the space when \(p=1\). Our proof is based on a straightforward construction of an equivalent norm on \(N^{1,p}(X)\), \(p\in [1,\infty)\), that is uniformly convex when \(p\in (1,\infty)\). Finally, we explicitly construct a functional that is pointwise comparable to the minimal \(p\)-weak upper gradient, when \(p\in (1,\infty)\).