Phase Transition and Level-Set Percolation for the Gaussian Free Field
Phase Transition and Level-Set Percolation for the Gaussian Free Field
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高斯自由场的相变和水平集渗流
DOI：
10.1007/s00220-012-1649-y
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发表时间：
2012
影响因子：
2.4
通讯作者：
A. Sznitman
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Pierre;A. Sznitman
我们考虑了$${\mathbb{Z}^{d}}$$上，d≥3的高斯自由场的水平集渗透，并证明了当h变化时，对于d≥3的所有维度，在h以上的偏移集存在一个非平凡的渗透相变。到目前为止，已知对应的临界能级h*(d)对所有d≥3都满足h*(d)≥0，且h*(3)是有限的，见Bricmont et al. （J Stat Phys 48(5/6): 1249-1268, 1987）。我们证明了h*(d)对于所有d≥3是有限的。事实上，我们引入了第二个关键参数h**≥h*，证明了h**(d)对于所有d≥3是有限的，并且在h以上水平偏移集的连通性函数对于所有h > h**都具有拉伸指数衰减。最后，我们证明了h*在高维上是严格正的。h*和h**是否重合，以及h* >是否对所有d≥3都是开放的。
We consider level-set percolation for the Gaussian free field on $${\mathbb{Z}^{d}}$$, d ≥ 3, and prove that, as h varies, there is a non-trivial percolation phase transition of the excursion set above level h for all dimensions d ≥ 3. So far, it was known that the corresponding critical level h*(d) satisfies h*(d) ≥ 0 for all d ≥ 3 and that h*(3) is finite, see Bricmont et al. (J Stat Phys 48(5/6):1249–1268, 1987). We prove here that h*(d) is finite for all d ≥ 3. In fact, we introduce a second critical parameter h** ≥ h*, show that h**(d) is finite for all d ≥ 3, and that the connectivity function of the excursion set above level h has stretched exponential decay for all h > h**. Finally, we prove that h* is strictly positive in high dimension. It remains open whether h* and h** actually coincide and whether h* > 0 for all d ≥ 3.