Extreme Localization of Eigenfunctions to One-Dimensional High-Contrast Periodic Problems with a Defect
Extreme Localization of Eigenfunctions to One-Dimensional High-Contrast Periodic Problems with a Defect
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一维高对比度缺陷周期性问题的特征函数的极端局域化
DOI：
10.1137/17m112261x
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发表时间：
2018
影响因子：
2
通讯作者：
Cherdantsev M
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Cherdantsev M
根据最近的一些研究的预解式和谱收敛的非均匀椭圆族微分算子描述的行为的周期性复合介质与高对比度，我们研究了相应的一维版本，包括一个“缺陷”：包含固定大小与一组给定的材料参数。我们知道，当周期趋于零时，没有缺陷及其极限的纯周期情况的谱具有带隙结构。对于周期性情况，我们考虑由缺陷引起的特征值序列，并收敛到位于极限谱间隙中的一个点。我们表明，相应的本征函数是“非常”本地化的缺陷，在这个意义上说，本地化指数的行为，这在现有的文献中还没有观察到。在二维和三维的配置，其一维的横截面所描述的设置考虑，这意味着传播波的存在，是本地化的缺陷附近。 我们还证明了未扰动算子在真实的轴上的范数预解式近似于退化算子，并给出了明确的描述。
Following a number of recent studies of resolvent and spectral convergence of nonuniformly elliptic families of differential operators describing the behavior of periodic composite media with high contrast, we study the corresponding one-dimensional version that includes a “defect”: an inclusion of fixed size with a given set of material parameters. It is known that the spectrum of the purely periodic case without the defect and its limit, as the periodgoes to zero, has a band-gap structure. We consider a sequence of eigenvaluesthat are induced by the defect and converge to a pointlocated in a gap of the limit spectrum for the periodic case. We show that the corresponding eigenfunctions are “extremely” localized to the defect, in the sense that the localization exponent behaves aswhich has not been observed in the existing literature. In two- and three-dimensional configurations, whose one-dimensional cross sections are described by the setting considered, this implies the existence of propagating waves that are localized to a vicinity of the defect. We also show that the unperturbed operators are norm-resolvent close to a degenerate operator on the real axis, which is described explicitly.
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