Complex Projective Geometry: Polarized K3 surfaces of genus 18 and 20
Complex Projective Geometry: Polarized K3 surfaces of genus 18 and 20
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复杂射影几何：18 和 20 的偏振 K3 表面
DOI：
10.1017/cbo9780511662652.019
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发表时间：
1992
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
S. Mukai
中科院分区：
文献类型：
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作者：
S. Mukai
一个表面，即二维紧复流形，S 是 K3 类型，如果它的正则线丛 Os (Ks) 是平凡的并且 H1^, Os)= 0。K3 表面 5 上的充足线丛 L 是亏格 g 的极化，如果它的自交数 (L2) 等于 2g—2，并且如果 L~ Mk 意味着 k=±1，则称为本原。对于每个 g> 2，属 g 的原始极化 K3 表面（S，L）的模空间 Ta 是维度为 19 的拟射影簇（[15]）。在[12]中，我们研究了属 6< g< 10 的通用原始极化 K3 表面（S，L）。在每种情况下，K3 表面 S 是齐次空间 X 中约数的完全交集，极化 L 是 X 的 Picard 群 PicX~ Z 的充足生成元的限制。在本文中，我们将研究属 18 的通用（极化）K3 表面（5，L） 20.（属 18 和 20 的极化总是本原的。）K3 曲面 S 具有到齐次空间 X 的规范嵌入，使得 L 是 PicX~ Z 的充足生成元的限制。S 不再是约数的完全交集，而是 X 中相对于齐次向量束 V 的完全交集（定义 1.1）：S 是 V 的全局截面 s 的零轨迹。此外， 全局部分 s 由 (5, L) 的同构类直到对 (X, V) 的自同构唯一确定。作为推论，我们获得了 T\% 和 的双有理类型的描述。 T^o 作为轨道空间（定理 0.3 和推论 5.10）。
A surface, ie, 2-dimensional compact complex manifold, S is of type K3 if its canonical line bundle Os (Ks) is trivial and if H1^, Os)= 0. An ample line bundle L on a K3 surface 5 is a polarization of genus g if its self intersection number (L2) is equal to 2g—2, and called primitive if L~ Mk implies k=±1. The moduli space Ta of primitively polarized K3 surfaces (S, L) of genus g is a quasi-projective variety of dimension 19 for every g> 2 ([15]). In [12], we have studied the generic primitively polarized K3 surfaces (S, L) of genus 6< g< 10. In each case, the K3 surface S is a complete intersection of divisors in a homogeneous space X and the polarization L is the restriction of the ample generator of the Picard group PicX~ Z of X.In this article, we shall study the generic (polarized) K3 surfaces (5, L) of genus 18 and 20.(Polarization of genus 18 and 20 are always primitive.) The K3 surface S has a canonical embedding into a homogeneous space X such that L is the restriction of the ample generator of PicX~ Z. S is not a complete intersection of divisors any more but a complete intersection in X with respect to a homogeneous vector bundle V (Definition 1.1): S is the zero locus of a global section s of V. Moreover, the global section s is uniquely determined by the isomorphism class of (5, L) up to the automorphisms of the pair (X, V). As a corollary, we obtain a description of birational types of T\% and. T^ o as orbit spaces (Theorem 0.3 and Corollary 5.10).