Monotonicity properties for ranks of overpartitions
Monotonicity properties for ranks of overpartitions
复制标题
过度划分行列的单调性属性
DOI：
10.1016/j.jnt.2019.08.025
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发表时间：
2020
影响因子：
0.7
通讯作者：
Zang Wenston J. T.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Xiong Huan;Zang Wenston J. T.
划分的秩在几个著名的拉马努金同余公式的组合解释中起着重要的作用。2005年和2008年，洛夫乔伊分别提出了超划分的D-秩和M2-秩.设N（m，n）和N2（m，n）分别表示n的D-秩m和M2-秩m的超划分数. 2014年，Chan和Mao提出了关于N（m，n）和N 2（m，n）的单调性的猜想。本文证明了Chan-Mao单调性猜想。具体地说，我们证明了对任意整数m和非负整数n，N2 <$（m，n）≤ N2 <$（m，n+ 1）;对（m，n）<$（0，4），n <$|M| + 2，则有N <$（m，n）≤ N <$（m，n+ 1）。进一步证明了当m增大时，对任意的m，n≥ 0，N <$（m，n）≥ N <$（m+ 2，n），N2 <$（m，n）≥ N2 <$（m+ 2，n），这与Chan和Mao关于分拆的结果类似.
The rank of partitions plays an important role in the combinatorial interpretations of several Ramanujan's famous congruence formulas. In 2005 and 2008, the D-rank and M 2-rank of an overpartition were introduced by Lovejoy, respectively. Let N‾(m, n) and N 2‾(m, n) denote the number of overpartitions of n with D-rank m and M 2-rank m, respectively. In 2014, Chan and Mao proposed a conjecture on monotonicity properties of N‾(m, n) and N 2‾(m, n). In this paper, we prove the Chan-Mao monotonicity conjecture. To be specific, we show that for any integer m and nonnegative integer n, N 2‾(m, n)≤ N 2‾(m, n+ 1); and for (m, n)≠(0, 4) with n≠| m|+ 2, we have N‾(m, n)≤ N‾(m, n+ 1). Furthermore, when m increases, we prove that N‾(m, n)≥ N‾(m+ 2, n) and N 2‾(m, n)≥ N 2‾(m+ 2, n) for any m, n≥ 0, which is an analogue of Chan and Mao's result for partitions.