Noncommutative Motives II: K-Theory and Noncommutative Motives
Noncommutative Motives II: K-Theory and Noncommutative Motives
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非交换动机 II：K 理论和非交换动机
DOI：
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发表时间：
2013
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Marco Robalo
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Marco Robalo
我们继续在arXiv:1206.3645中开始的工作，在那里我们引入了一个新的稳定对称单轴 $(\infty,1)$-类别 $SH_{nc}$ 对Kontsevich非交换空间的一个动力稳定同伦理论进行了编码，得到了一个典型的一元保限函子 $SH\to SH_{nc}$ 把这个新理论与 $(\infty,1)$-范畴编码稳定动机 $\mathbb{A}^1$ Morel-Voevodsky理论。对于一个方案 $X$ 这张图恢复了完美复合体的dg衍生范畴 $L_{pe}(X)$．
在这个续集中，我们解决了代数的不同口味的研究 $K$-范畴论。在交换的情况下，这些可以理解为谱值 $\infty$-在非交换光滑空间的范畴上进行预帧，因此在 $SH_{nc}$ 一旦正确定位。我们的第一个主要结果是对非连接词的描述 $K$- Schlichting作为连接的非交换Nisnevich sheification引入的g-范畴理论 $K$-理论。特别地，它的结论是 $\mathbb{A}^1$本地化是一个对象 $SH_{nc}$。作为a . Blanc博士论文最新结果的一个推论，我们证明了这个对象是单轴结构的一个单元。
利用这一点，我们得到了Kontsevich的一个猜想的精确证明 $K$-理论给出了非交换动机下的正确映射空间。作为第二个推论，我们得到了比较图的因式分解 $SH\to SH_{nc}$ 通过 $Mod_{KH}(SH)$ ——the $(\infty,1)$交换代数对象上的模的范畴 $KH$ 表示同伦不变代数 $K$-方案理论 $SH$。如果 $k$ 如果一个场允许奇点的分解，这个分解是完全可靠的，因此，在动机层面上，没有信息(下面 $K$-理论)通过传递到非交换世界而丢失。
We continue the work initiated in arXiv:1206.3645, where we introduced a new stable symmetric monoidal $(\infty,1)$-category $SH_{nc}$ encoding a motivic stable homotopy theory for the noncommutative spaces of Kontsevich and obtained a canonical monoidal colimit-preserving functor $SH\to SH_{nc}$ relating this new theory to the $(\infty,1)$-category encoding the stable motivic $\mathbb{A}^1$ theory of Morel-Voevodsky. For a scheme $X$ this map recovers the dg-derived category of perfect complexes $L_{pe}(X)$.
In this sequel we address the study of the different flavours of algebraic $K$-theory of dg-categories. As in the commutative case, these can be understood as spectral valued $\infty$-presheaves over the category of noncommutative smooth spaces and therefore provide objects in $SH_{nc}$ once properly localized. Our first main result is the description of non-connective $K$-theory of dg-categories introduced by Schlichting as the noncommutative Nisnevich sheafification of connective $K$-theory. In particular it follows that its further $\mathbb{A}^1$-localization is an object in $SH_{nc}$. As a corollary of the recent result in A. Blanc Phd thesis, we prove that this object is a unit for the monoidal structure.
Using this, we obtain a precise proof for a conjecture of Kontsevich claiming that $K$-theory gives the correct mapping spaces in noncommutative motives. As a second corollary we obtain a factorization of our comparison map $SH\to SH_{nc}$ through $Mod_{KH}(SH)$ - the $(\infty,1)$-category of modules over the commutative algebra object $KH$ representing homotopy invariant algebraic $K$-theory of schemes in $SH$. If $k$ is a field admitting resolutions of singularities, this factorization is fully faithful, so that, at the motivic level, no information (below $K$-theory) is lost by passing to the noncommutative world.