Large Steklov eigenvalues via homogenisation on manifolds
Large Steklov eigenvalues via homogenisation on manifolds
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通过流形上的均质化获得大 Steklov 特征值
DOI：
10.1007/s00222-021-01058-w
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发表时间：
2021
影响因子：
3.1
通讯作者：
Girouard A
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Girouard A
使用方法的精神，确定性的均匀化理论，我们得到收敛的Steklov特征值的一系列领域在黎曼流形加权拉普拉斯特征值的流形。通过去除小测地线球获得域，这些球在其半径趋于零时渐近密集均匀分布。我们使用这种关系来构造流形，具有大的Steklov特征值。在二维空间中，当常权为1时，我们证明了亏格为0的可定向曲面上第一个非零规范化Steklov特征值的Kokarev上界是饱和的。对于其他拓扑类型和特征值指数，我们也得到了拉普拉斯最大化的特征值的最佳上界的下界。对于前两个特征值，这些下限变成等式。一个令人惊讶的结果是存在的自由边界极小曲面沉浸在单位球的第一Steklov特征函数和面积严格大于。这在以前被认为是不可能的。我们提供的数值证据表明，一些已经知道的例子自由边界极小曲面具有这些属性，也表现出模拟新的自由边界极小曲面的属零的单位球，甚至更大的面积。我们证明了所有这些例子的第一个非零Steklov特征值等于1，作为其对称性和拓扑结构的结果，使它们与Fraser和Li的一般猜想一致。在3维及更大维情形下，我们证明了Colbois-El Soufi-Girouard等周不等式是尖锐的，并蕴含了加权拉普拉斯特征值的上界.我们还表明，在任何流形与一个固定的度量，可以通过改变权重构造一个域的连接边界，其第一个非零归一化Steklov特征值是任意大的。
Using methods in the spirit of deterministic homogenisation theory we obtain convergence of the Steklov eigenvalues of a sequence of domains in a Riemannian manifold to weighted Laplace eigenvalues of that manifold. The domains are obtained by removing small geodesic balls that are asymptotically densely uniformly distributed as their radius tends to zero. We use this relationship to construct manifolds that have large Steklov eigenvalues. In dimension two, and with constant weight equal to 1, we prove that Kokarev’s upper bound offor the first nonzero normalised Steklov eigenvalue on orientable surfaces of genus 0 is saturated. For other topological types and eigenvalue indices, we also obtain lower bounds on the best upper bound for the eigenvalue in terms of Laplace maximisers. For the first two eigenvalues, these lower bounds become equalities. A surprising consequence is the existence of free boundary minimal surfaces immersed in the unit ball by first Steklov eigenfunctions and with area strictly larger than. This was previously thought to be impossible. We provide numerical evidence that some of the already known examples of free boundary minimal surfaces have these properties and also exhibit simulations of new free boundary minimal surfaces of genus zero in the unit ball with even larger area. We prove that the first nonzero Steklov eigenvalue of all these examples is equal to 1, as a consequence of their symmetries and topology, so that they are consistent with a general conjecture by Fraser and Li. In dimension three and larger, we prove that the isoperimetric inequality of Colbois–El Soufi–Girouard is sharp and implies an upper bound for weighted Laplace eigenvalues. We also show that in any manifold with a fixed metric, one can construct by varying the weight a domain with connected boundary whose first nonzero normalised Steklov eigenvalue is arbitrarily large.
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DOI：
10.4310/pamq.2018.v14.n2.a3
发表时间：
2016-12
期刊：
arXiv: Differential Geometry
影响因子：
--
作者：
B. Colbois;A. Girouard;B. Raveendran
通讯作者：
B. Colbois;A. Girouard;B. Raveendran
复杂微结构黎曼流形上谐波矢量场的均匀化
DOI：
--
发表时间：
1998
期刊：
影响因子：
--
作者：
L. Boutet de Monvel;E. Khruslov
通讯作者：
E. Khruslov
具有连通边界和任意亏格的自由边界最小曲面
影响因子：
1.6
作者：
A. Carlotto;Giada Franz;Mario B. Schulz
通讯作者：
Mario B. Schulz
DOI：
--
发表时间：
1993
期刊：
影响因子：
--
作者：
E. Vinberg;O. Shvartsman
通讯作者：
O. Shvartsman
DOI：
10.1051/cocv/2021033
发表时间：
2020-07
期刊：
ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations
影响因子：
--
作者：
É. Oudet;C. Kao;B. Osting
通讯作者：
É. Oudet;C. Kao;B. Osting