Undistorted fillings in subsets of metric spaces
Undistorted fillings in subsets of metric spaces
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度量空间子集中的不失真填充
DOI：
10.1016/j.aim.2023.109024
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发表时间：
2023
影响因子：
1.7
通讯作者：
Young, Robert
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Basso, Giuliano;Wenger, Stefan;Young, Robert
Lipschitz k-连通性、欧几里得等周不等式和锥不等式都度量了用（k+ 1）维对象填充空间中的k维循环的难度。在许多情况下，如Banach空间和CAT（0）空间，证明Lipschitz连通性或锥不等式是容易的，但很难获得欧氏等周不等式。我们证明了在有限Nagata维空间中，Lipschitz连通性蕴涵欧氏等周不等式，欧氏等周不等式蕴涵锥不等式。我们证明了这一点，如果X有有限的Nagata维数和Lipschitz k-连通或承认欧氏等周不等式的维数k，然后任何等距嵌入X到度量空间是等周不失真的维数k+ 1。由于X嵌入到L∞中，L ∞允许一个欧氏等周不等式和一个锥不等式，所以X也允许这样的不等式。此外，我们证明了Federerer-Fleming形变定理的一个类似定理在这样的空间X中成立，并利用它证明了：如果X具有有限的Nagata维数且是Lipschitz k-连通的，则X中的积分（k+ 1）流可以用Lipschitz链在总质量上近似.
Lipschitz k-connectivity, Euclidean isoperimetric inequalities, and coning inequalities all measure the difficulty of filling a k-dimensional cycle in a space by a (k+ 1)-dimensional object. In many cases, such as Banach spaces and CAT (0) spaces, it is easy to prove Lipschitz connectivity or a coning inequality, but harder to obtain a Euclidean isoperimetric inequality. We show that in spaces of finite Nagata dimension, Lipschitz connectedness implies Euclidean isoperimetric inequalities, and Euclidean isoperimetric inequalities imply coning inequalities. We show this by proving that if X has finite Nagata dimension and is Lipschitz k-connected or admits Euclidean isoperimetric inequalities up to dimension k then any isometric embedding of X into a metric space is isoperimetrically undistorted up to dimension k+ 1. Since X embeds in L∞, which admits a Euclidean isoperimetric inequality and a coning inequality, X admits such inequalities as well. In addition, we prove that an analog of the Federer-Fleming deformation theorem holds in such spaces X and use it to show that if X has finite Nagata dimension and is Lipschitz k-connected, then integral (k+ 1)-currents in X can be approximated by Lipschitz chains in total mass.
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