The Random Heat Equation in Dimensions Three and Higher: The Homogenization Viewpoint
The Random Heat Equation in Dimensions Three and Higher: The Homogenization Viewpoint
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三维及更高维度的随机热方程：均质化观点
DOI：
10.1007/s00205-021-01694-9
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发表时间：
2021
影响因子：
2.5
通讯作者：
Zeitouni, Ofer
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Dunlap, Alexander;Gu, Yu;Ryzhik, Lenya;Zeitouni, Ofer
本文考虑随机热方程，其中空间-时间-平稳的高斯随机场V（s，y），在维数上，具有一个初始条件和适当选择的。我们知道，当足够小时，扩散重标解弱收敛到具有有效扩散系数a的热方程解的标量倍，波动也弱收敛到具有有效噪声强度和相同有效扩散系数的Edwards-Wilkinson方程的解。本文导出了一个逐点逼近，其中，是常初值条件下的SHE解，是一个显式校正。我们证明了，收敛到一个平稳过程，逐点收敛到0，并弱收敛到0固定t。因此，我们得到新的表示的diffusivitya和有效的噪声强度。我们的方法使用马尔可夫链的空间中的轨迹，以及工具的均匀化理论。在介观时间尺度上使用一种看似新的近似方案构造的校正器。
We consider the stochastic heat equation, with a smooth space-time-stationary Gaussian random fieldV(s,y), in dimensions, with an initial conditionand a suitably chosen. It is known that, forsmall enough, the diffusively rescaled solutionconverges weakly to a scalar multiple of the solutionof the heat equation with an effective diffusivitya, and that fluctuations converge, also in a weak sense, to the solution of the Edwards-Wilkinson equation with an effective noise strengthand the same effective diffusivity. In this paper, we derive a pointwise approximation, where,is a solution of the SHE with constant initial conditions, andis an explicit corrector. We show thatconverges to a stationary processas, thatconverges pointwise to 0 as, and thatconverges weakly to 0 for fixedt. As a consequence, we derive new representations of the diffusivityaand effective noise strength. Our approach uses a Markov chain in the space of trajectories introduced in , as well as tools from homogenization theory. The correctoris constructed using a seemingly new approximation scheme on a mesoscopic time scale.
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