Eulerian representations for real reflection groups
Eulerian representations for real reflection groups
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实反射群的欧拉表示
DOI：
10.1112/jlms.12519
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Brauner, Sarah
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Brauner, Sarah
欧拉幂等元首先为对称群引入，后来扩展到所有反射群，生成一族称为欧拉表示的表示，它分解正则表示。在类型A$A$中，欧拉表示有许多优雅而神秘的联系，与自然地与辫子排列有关的环。在这里，我们统一了这些结果，并通过给出六个欧拉表示的特征刻画，证明了它们对任何重合类型的反射群--即，Sn$S_{n}$，Bn$B_{n}$，H3$H_{3}$或二面体群I2(M)$I_{2}(M)$都成立，包括作为相关的分次Varchenko-Gelfand环V$\Mathcal{V}$的分支。因此，我们证明了所罗门下降代数包含一个由元素之和生成的交换子代数，当且仅当W$W$是重合的。更一般地，对于任意有限实反射群，我们给出了由环V$\数学{V}$的平坦分解所描述的一族欧拉表示的无情形构造。
The Eulerian idempotents, first introduced for the symmetric group and later extended to all reflection groups, generate a family of representations called the Eulerian representations that decompose the regular representation. In Type A$A$, the Eulerian representations have many elegant but mysterious connections to rings naturally associated with the braid arrangement. Here, we unify these results and show that they hold for any reflection group ofcoincidental type— that is, Sn$S_{n}$, Bn$B_{n}$, H3$H_{3}$ or the dihedral group I2(m)$I_{2}(m)$ — by giving six characterizations of the Eulerian representations, including as components of the associated graded Varchenko–Gelfand ring V$\mathcal {V}$. As a consequence, we show that Solomon's descent algebra contains a commutative subalgebra generated by sums of elements with a fixed number of descents if and only if W$W$ is coincidental. More generally, for any finite real reflection group, we give a case‐free construction of a family of Eulerian representations described by a flat decomposition of the ring V$\mathcal {V}$.
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