Metrics, Quantization and Registration in Varifold Spaces
Metrics, Quantization and Registration in Varifold Spaces
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多种空间中的度量、量化和配准
DOI：
10.1007/s10208-020-09484-7
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发表时间：
2021
影响因子：
3
通讯作者：
Charon, Nicolas
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Hsieh, Hsi-Wei;Charon, Nicolas
本文涉及多样性在形状表示、近似和微分同胚配准方面的理论和应用。其目的之一是综合和扩展之前的几项工作，到目前为止，这些工作主要在子流形比较和匹配的背景下使用了该框架。在这项工作中，我们考虑作用于一般可变空间的变形模型，它允许为更广泛的几何对象类别制定和解决微分同胚配准问题，并导致更通用的算法管道。我们详细研究了 varifold 空间上核度量的构造以及这些度量所产生的拓扑特性，然后提出了一种在特定群体作用下的 varifold 微分同胚配准的数学模型，我们在最优控制理论的框架中制定了该模型。本文的第二个重要部分重点关注离散方面。具体来说，我们解决了这些指标的最优有限近似（量化）问题，并显示了相应配准函数的 a-收敛性质。最后，我们开发了用于量化和配准的数值管道，然后展示了一些一维和二维折叠的初步结果。
This paper is concerned with the theory and applications of varifolds to the representation, approximation and diffeomorphic registration of shapes. One of its purpose is to synthesize and extend several prior works which, so far, have made use of this framework mainly in the context of submanifold comparison and matching. In this work, we instead consider deformation models acting on general varifold spaces, which allow to formulate and tackle diffeomorphic registration problems for a much wider class of geometric objects and lead to a more versatile algorithmic pipeline. We study in detail the construction of kernel metrics on varifold spaces and the resulting topological properties of those metrics and then propose a mathematical model for diffeomorphic registration of varifolds under a specific group action which we formulate in the framework of optimal control theory. A second important part of the paper focuses on the discrete aspects. Specifically, we address the problem of optimal finite approximations (quantization) for those metrics and show a-convergence property for the corresponding registration functionals. Finally, we develop numerical pipelines for quantization and registration before showing a few preliminary results for one- and two-dimensional varifolds.
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Hsi-Wei Hsieh;N. Charon
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