Existence of an intermediate phase for oriented percolation
Existence of an intermediate phase for oriented percolation
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存在定向渗透的中间相
DOI：
10.1214/ejp.v17-1761
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发表时间：
2012
影响因子：
1.4
通讯作者：
H. Lacoin
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
H. Lacoin
我们考虑$\mathbb {N} \times \mathbb{Z}^d$的以下定向渗透模型：我们为$\mathbb {N}\times \mathbb{Z}^d$配备了边集$\{[(n,x),(n+1,y)] | n\in \mathbb {N}, x,y\in \mathbb{Z}^d\}$，并且我们说每个边都以$p f(y-x)$的概率打开，其中$f(y-x)$是$\mathbb{Z}^d$上的固定非负紧支持函数，$\sum_{z\in \mathbb{Z}^d} f(z)=1$和$p\in [0,\inf f^{-1}]$是渗透参数。设$p_c$为渗流阈值，$Z_N$为从原点开始的长度为$N$的开放定向路径数，研究渗流发生时$Z_N$的生长情况。我们证明，如果$d\ge 5$和函数$f$充分展开，则存在第二个阈值$p_c^{(2)}>p_c$，使得$Z_N/p^N$对于$p\in(p_c,p_c^{(2)})$呈指数级快速衰减，而对于$p> p_c^{(2)}$则不如此。结果应扩展到高维的最近邻模型，以及$d=3,4$时的展开模型。众所周知，这种现象在维1和维2中不会发生。
We consider the following oriented percolation model of $\mathbb {N} \times \mathbb{Z}^d$: we equip $\mathbb {N}\times \mathbb{Z}^d$ with the edge set $\{[(n,x),(n+1,y)] | n\in \mathbb {N}, x,y\in \mathbb{Z}^d\}$, and we say that each edge is open with probability $p f(y-x)$ where $f(y-x)$ is a fixed non-negative compactly supported function on $\mathbb{Z}^d$ with $\sum_{z\in \mathbb{Z}^d} f(z)=1$ and $p\in [0,\inf f^{-1}]$ is the percolation parameter. Let $p_c$ denote the percolation threshold ans $Z_N$ the number of open oriented-paths of length $N$ starting from the origin, and study the growth of $Z_N$ when percolation occurs. We prove that for if $d\ge 5$ and the function $f$ is sufficiently spread-out, then there exists a second threshold $p_c^{(2)}>p_c$ such that $Z_N/p^N$ decays exponentially fast for $p\in(p_c,p_c^{(2)})$ and does not so when $p> p_c^{(2)}$. The result should extend to the nearest neighbor-model for high-dimension, and for the spread-out model when $d=3,4$. It is known that this phenomenon does not occur in dimension 1 and 2.
DOI：
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发表时间：
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期刊：
Latin American Journal of Probability and Statistics
影响因子：
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作者：
福島竜輝;吉田伸生
通讯作者：
吉田伸生
影响因子：
2.3
作者：
F. Comets;N. Yoshida
通讯作者：
F. Comets;N. Yoshida
影响因子：
1.6
作者：
N. Yoshida
通讯作者：
N. Yoshida