Minimal surfaces in Flat Three-Dimensional Spaces
Minimal surfaces in Flat Three-Dimensional Spaces
复制标题
平面三维空间中的最小表面
DOI：
10.1007/978-3-540-45609-4_1
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发表时间：
2002
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
W. Meeks
中科院分区：
文献类型：
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作者：
W. Meeks
近年来，极小曲面的经典理论有了重大进展。我们在这里开发的一些基本的几何理论和技术工具，已在研究适当嵌入的平面3流形极小曲面有用。一个适当嵌入的曲面在一个平坦的3-流形<$3/Γ中，其中Γ <$Iso（<$3）自由地和适当地不连续地作用在<$3上，提升到<$3中的一个Γ-周期曲面。在取有限指数子群之前，我们可以假定Γ是π 3中的格（三周期），Γ是π 2 π π 3中的格（双周期），或者Γ是π 3的螺旋运动π yS θ生成的循环群（单周期），轴为π 3-轴，旋转角为θ。在第2节中，我们简要地介绍了几何Dehn引理和相关的障碍建设。在第3、4和5节中，我们将介绍三重、双重和单重周期极小曲面的基本理论。在第6节中，我们回顾了最近的一些关于适当嵌入极小曲面的拓扑和渐近几何的工作。
In recent years there has been major progress in the classical theory of minimal surfaces. We develop here some of the basic geometric theory and technical tools that have been useful in studying properly embedded minimal surfaces in flat 3-manifolds. A properly embedded surfaceMin a flat 3-manifold ℝ3/Γ, whereΓ⊂Iso(ℝ3) acts freely and properly discontinuously on ℝ3, lifts to aΓ-periodic surfacein ℝ3. Up to taking finite index subgroups ofΓ, we may assume that eitherΓis a lattice in ℝ3(triply-periodic),Γis a lattice in ℝ2⊂ℝ3(doubly-periodic), orΓis the cyclic group generated by a screw motion symmetrySθof ℝ3with axis thex3-axis and rotation angle θ (singlyperiodic).In section 1 we discuss the maximum principle at infinity for proper minimal surfaces and applications. In section 2 we briefly go over the Geometric Dehn’s Lemma and related barrier constructions. In sections 3, 4, and 5 we cover the basic theories of triply, doubly, and singly periodic minimal surfaces. In section 6 we go over some of the very recent work on the topology and asymptotic geometry of properly embedded minimal surfaces in ℝ3.