Shadow martingales – a stochastic mass transport approach to the peacock problem
Shadow martingales – a stochastic mass transport approach to the peacock problem
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影子鞅——解决孔雀问题的随机质量传输方法
DOI：
10.1214/22-ejp846
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发表时间：
2020
影响因子：
1.4
通讯作者：
N. Juillet
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Martin Bruckerhoff;M. Huesmann;N. Juillet
给定一族按凸序增加的真实的概率测度（孔雀），我们描述了一个系统的方法来构造一个在任何时刻都精确拟合边缘的鞅.我们的方法的关键对象是孔雀中的措施的遮挡阴影，在\cite{BeJu 16，NuStTa 17}中引入的（遮挡）阴影的推广。作为输入数据，我们采用一个递增的测度族$（\nu^\alpha）_{\alpha \in [0，1]}$，其中$\nu^\alpha（\mathbb{R}）=\alpha$，它们是$\mu _0$的子测度，称为$\mu_0$的参数化。然后，对于任何$\alpha$，我们通过设置$\eta ^\alpha_t$等于$\nu^\alpha$在$（\mu _s）_{s \in [0，t]}$中的遮挡阴影来定义测度$\nu ^\alpha=\eta^\alpha_0$在孔雀上的演化$（\eta^\alpha_t）_{t\geq 0}$。我们确定了参数化$（\nu^\alpha）_{\alpha\in [0，1]}$的条件，使得这种构造导致了唯一的鞅测度$\pi$，即阴影鞅，而没有对孔雀的任何假设。在左帘参数化$（\nu_{\text{lc}}^\alpha）_{\alpha \in [0，1]}$的情况下，我们将阴影鞅确定为鞅最优运输问题的连续时间版本的唯一解。
此外，我们的方法丰富了知识的可预测表示属性（PRP），因为任何阴影鞅来与一个典型的Choquet表示极值马尔可夫鞅。
Given a family of real probability measures $(\mu_t)_{t\geq 0}$ increasing in convex order (a peacock) we describe a systematic method to create a martingale exactly fitting the marginals at any time. The key object for our approach is the obstructed shadow of a measure in a peacock, a generalization of the (obstructed) shadow introduced in \cite{BeJu16,NuStTa17}. As input data we take an increasing family of measures $(\nu^\alpha)_{\alpha \in [0,1]}$ with $\nu^\alpha(\mathbb{R})=\alpha$ that are submeasures of $\mu _0$, called a parametrization of $\mu_0$. Then, for any $\alpha$ we define an evolution $(\eta^\alpha_t)_{t\geq 0}$ of the measure $\nu^\alpha=\eta^\alpha_0$ across our peacock by setting $\eta^\alpha_t$ equal to the obstructed shadow of $\nu^\alpha$ in $(\mu _s)_{s \in [0,t]}$. We identify conditions on the parametrization $(\nu^\alpha)_{\alpha\in [0,1]}$ such that this construction leads to a unique martingale measure $\pi$, the shadow martingale, without any assumptions on the peacock. In the case of the left-curtain parametrization $(\nu_{\text{lc}}^\alpha)_{\alpha \in [0,1]}$ we identify the shadow martingale as the unique solution to a continuous-time version of the martingale optimal transport problem.
Furthermore, our method enriches the knowledge on the Predictable Representation Property (PRP) since any shadow martingale comes with a canonical Choquet representation in extremal Markov martingales.
影响因子：
3.1
作者：
Beiglboeck, Mathias;Cox, Alexander M. G.;Huesmann, Martin
通讯作者：
Huesmann, Martin