A parametrization of structure-preserving transformations for matrix polynomials
A parametrization of structure-preserving transformations for matrix polynomials
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矩阵多项式的结构保持变换的参数化
DOI：
10.1016/j.laa.2023.05.024
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发表时间：
2023
影响因子：
1.1
通讯作者：
Garvey S
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Garvey S
在给定d次矩阵多项式A(λ)和相关的铅笔向量空间DL(A)的情况下，我们构造了保持这类铅笔的块结构的左、右变换集的参数化。它们形成了一类特殊的结构保持变换(SPT)。其中A˜)是一个新的仍为d次的矩阵多项式，其有限和无限的特征值及其部分重数与A(˜(λ)的相同。与已有的SPT研究不同，我们不要求A的前导矩阵系数(λ)是非奇异的。我们表明，对参数化的附加约束导致了SPT，这些约束也保留了A(λ)中的额外结构，如对称结构、交替结构和T回文结构。我们的参数化允许很容易地构造SPT，这些SPT是单位矩阵的低阶修改。后者将A(λ)变换成矩阵多项式A(˜(λ)，它的第j个矩阵系数A˜j是Aj的低阶修正。我们期望这样的SPT是开发算法的关键工具之一，该算法在有限步内将矩阵多项式化为Hessenberg型或三对角型，而不使用线性化。
Given a matrix polynomial A (λ) of degree d and the associated vector space of pencils DL (A) described in Mackey et al.[12], we construct a parametrization for the set of left and right transformations that preserve the block structure of such pencils. They form a special class of structure-preserving transformations (SPTs). An SPT in that class maps DL (A) to DL (A˜), where A˜(λ) is a new matrix polynomial that is still of degree d and whose finite and infinite eigenvalues and their partial multiplicities are the same as those of A (λ). Unlike previous work on SPTs, we do not require the leading matrix coefficient of A (λ) to be nonsingular. We show that additional constraints on the parametrization lead to SPTs that also preserve extra structures in A (λ) such as symmetric, alternating, and T-palindromic structures. Our parametrization allows easy construction of SPTs that are low-rank modifications of the identity matrix. The latter transform A (λ) into a matrix polynomial A˜(λ) whose jth matrix coefficient A˜ j is a low-rank modification of A j. We expect such SPTs to be one of the key tools for developing algorithms that reduce a matrix polynomial to Hessenberg form or tridiagonal form in a finite number of steps and without the use of a linearization.
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Leo Taslaman;F. Tisseur;I. Zaballa
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