Bifurcations d'ordre supérieur, cycles limites et intégrabilité
Bifurcations d'ordre supérieur, cycles limites et intégrabilité
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Mathieu Gentes
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Mathieu Gentes
La recherche de cycles limites pour des sytemes polynomiaux du plan est historiquement motivee par le 16e probleme de Hilbert. Les resultats obtenus dans cette these concernent des systemes differentiels quadratiques integrables perturbes pour lesquels on met en oeuvre une adaptation d'un algorithme theorique propose par Jean-Pierre Francoise permettant le calcul des derivees successives de l'application de premier retour, encore appelees fonctions de Melnikov. Le premier exemple etudie est de type Lienard et presente un centre en l'origine. Le calcul par deux methodes differentes de la premiere fonction de Melnikov assure l'existence d'un cycle limite pour le systeme perturbe. Dans certains cas, on calcule les fonctions de Melnikov d'ordre superieur et on donne des conditions pour lesquelles le systeme reste a centre. Le second exemple est issu d'une equation d'Abel remarquee par Liouville, dont l'etude des singularites a l'infini fait apparaitre une singularite non hyperbolique avec domaine elliptique. On perturbe quadratiquement une forme normale quadratique presentant cette singularite. Le calcul des trois premieres fonctions de Melnikov assure l'existence de perturbations faisant apparaitre deux cycles limites. D'autre part, on est en mesure de donner certains cas integrables ainsi que la nature algebrique des fonctions de Melnikov d'ordre superieur. Dans le troisieme exemple, on etudie une famille de systemes presentant soit une singularite avec deux secteurs elliptiques, soit un centre et une singularite avec un domaine elliptique. On espere trouver une perturbation quadratique generant quatre cycles limites imbriques deux a deux. L'etude des fonctions de Melnikov jusqu'a l'ordre deux ne revele cependant que l'existence de perturbations pour lesquelles on a deux cycles autour de l'un des centres et un seul autour de l'autre.
