Dynamical structure of some nonlinear degenerate diffusion equations
Dynamical structure of some nonlinear degenerate diffusion equations
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一些非线性简并扩散方程的动力学结构
DOI：
10.1007/s10884-012-9246-5
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发表时间：
2012
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
H. Matano and M.A. Pozio
中科院分区：
文献类型：
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作者：
天野正子・伊藤公雄;他(編);Ken'ichi Ohshika;小島定吉;伊藤公雄・井上俊(編);H. Matano and M.A. Pozio
考虑退化反应扩散方程ut = Δum+f（x，u），其中f（x，u）~a（x）up，1 ≤p<m.我们假设至少在空间域的某个部分，ta（x）> 0，因此这是一个不稳定的稳态解。我们证明了即使空间域是有界的，解的不稳定流形也有无穷大的Hausdorff维数。这与非退化半线性方程的情形形成鲜明对比。上面的结果首先表明存在一个解，当它的支集收缩到a（x）> 0的区域中任意选择的点x * 时，它趋于0，然后叠加这些解，形成一个自由参数任意大的解族。这种解决方案的建设将通过修改自相似的解决方案的情况下，其中a是一个常数。
We consider degenerate reaction diffusion equations of the formut= Δum+f(x,u), wheref(x,u) ~a(x)upwith 1 ≤p<m. We assume thata(x) > 0 at least in some part of the spatial domain, so thatis an unstable stationary solution. We prove that the unstable manifold of the solutionhas infinite Hausdorff dimension, even if the spatial domain is bounded. This is in marked contrast with the case of non-degenerate semilinear equations. The above result follows by first showing the existence of a solution that tends to 0 aswhile its support shrinks to an arbitrarily chosen pointx* in the region wherea(x) > 0, then superimposing such solutions, to form a family of solutions of arbitrarily large number of free parameters. The construction of such solutions will be done by modifying self-similar solutions for the case whereais a constant.