A characterization of the Razak–Jacelon algebra
A characterization of the Razak–Jacelon algebra
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DOI：
10.2140/apde.2023.16.1799
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发表时间：
2020-08
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Norio Nawata
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Norio Nawata
结合 Elliott、Gong、Lin 和 Niu 的结果以及 Castillejos 和 Evington 的结果，我们看到如果 $A$ 是一个简单的可分离核单线 C$^*$-代数，那么 $A\otimes\mathcal{W}$ 同构于 $\mathcal{W}$，其中 $\mathcal{W}$ 是 Razak-Jacelon 代数。在本文中，我们给出了另一个证明。特别地，我们证明，如果 $\mathcal{D}$ 是一个简单的可分离核单线 $M_{2^{\infty}}$-稳定 C$^*$-代数，$KK$-等价于 $\{0\}$，则 $\mathcal{D}$ 同构于 $\mathcal{W}$，而不考虑具有有限核的 C$^*$-代数的线形近似维度。我们的证明基于 Matui 和 Sato 的技术、Schafhauser 在 Tikuisis-White-Winter 定理证明中的想法以及 Kirchberg 中心序列 C$^*$-$\mathcal{D}$ 的代数 $F(\mathcal{D})$ 的性质。请注意，$F(\mathcal{D})$ 的一些结果基于 Elliott-Gong-Lin-Niu 的稳定唯一性定理。此外，我们使用 $F(\mathcal{W})$ 的属性来表征 $\mathcal{W}$。事实上，我们证明了一个简单的可分离核单线 C$^*$-代数 $D$ 与 $\mathcal{W}$ 同构当且仅当 $D$ 满足以下属性：(i) 对于任何 $\theta\in [0,1]$，在 $F(D)$ 中存在投影 $p$，使得 $\tau_{D, \omega}(p)=\theta$，(ii) 如果 $p$和 $q$ 是 $F(D)$ 中的投影，使得 $0<\tau_{D, \omega}(p)=\tau_{D, \omega}(q)$，则 $p$ 是等价于 $q$ 的默里-冯·诺依曼，(iii) 从 $D$ 到 $\mathcal{W}$ 存在同态。
Combing Elliott, Gong, Lin and Niu's result and Castillejos and Evington's result, we see that if $A$ is a simple separable nuclear monotracial C$^*$-algebra, then $A\otimes\mathcal{W}$ is isomorphic to $\mathcal{W}$ where $\mathcal{W}$ is the Razak-Jacelon algebra. In this paper, we give another proof of this. In particular, we show that if $\mathcal{D}$ is a simple separable nuclear monotracial $M_{2^{\infty}}$-stable C$^*$-algebra which is $KK$-equivalent to $\{0\}$, then $\mathcal{D}$ is isomorphic to $\mathcal{W}$ without considering tracial approximations of C$^*$-algebras with finite nuclear dimension. Our proof is based on Matui and Sato's technique, Schafhauser's idea in his proof of the Tikuisis-White-Winter theorem and properties of Kirchberg's central sequence C$^*$-algebra $F(\mathcal{D})$ of $\mathcal{D}$. Note that some results for $F(\mathcal{D})$ is based on Elliott-Gong-Lin-Niu's stable uniqueness theorem. Also, we characterize $\mathcal{W}$ by using properties of $F(\mathcal{W})$. Indeed, we show that a simple separable nuclear monotracial C$^*$-algebra $D$ is isomorphic to $\mathcal{W}$ if and only if $D$ satisfies the following properties:(i) for any $\theta\in [0,1]$, there exists a projection $p$ in $F(D)$ such that $\tau_{D, \omega}(p)=\theta$,(ii) if $p$ and $q$ are projections in $F(D)$ such that $0<\tau_{D, \omega}(p)=\tau_{D, \omega}(q)$, then $p$ is Murray-von Neumann equivalent to $q$,(iii) there exists a homomorphism from $D$ to $\mathcal{W}$.