Two bifurcation sets arising from the beta transformation with a hole at 0
Two bifurcation sets arising from the beta transformation with a hole at 0
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由 0 处有孔的 beta 变换产生的两个分叉集
DOI：
10.1016/j.indag.2020.03.001
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发表时间：
2020
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Baker S
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Baker S
给定β∈(1,2),Kalle et al.（2019）研究了圆[0,1]上带孔[0，T]的β-变换T β: x∈β x （mod 1）。他们描述集合值分岔集合E β是{t∈[0,1):K β （t′）≠K β (t)∀t′> t}，其中K β (t)是其中的幸存集合，其中x∈[0,1):t β n (x)≥t∀n≥0}。本文研究了一个维度分岔集合，其中dim H K β （t′）≠dim H K β (t)∀t′> t}，其中dim H表示Hausdorff维。我们证明了如果β∈(1,2)是一个多acci数，则两个分岔集ε β和ε β重合。并给出了这两个集合的完整刻画。作为我们主要结果的一个推论，我们证明了对于β是一个多多项式，对于任意t∈[0,1]，我们有dim H (E β∩[t, 1])= dim H K β (t)。这证实了Kalle等人关于β是多acci数的一个猜想。
Abstract Given β∈(1, 2], the β-transformation T β: x↦ β x (mod 1) on the circle [0, 1) with a hole [0, t) was investigated by Kalle et al.(2019). They described the set-valued bifurcation set E β≔{t∈[0, 1): K β (t′)≠ K β (t)∀ t′> t}, where K β (t)≔{x∈[0, 1): T β n (x)≥ t∀ n≥ 0} is the survivor set. In this paper we investigate the dimension bifurcation set ℬ β≔{t∈[0, 1): dim H K β (t′)≠ dim H K β (t)∀ t′> t}, where dim H denotes the Hausdorff dimension. We show that if β∈(1, 2] is a multinacci number then the two bifurcation sets ℬ β and E β coincide. Moreover we give a complete characterization of these two sets. As a corollary of our main result we prove that for β a multinacci number we have dim H (E β∩[t, 1])= dim H K β (t) for any t∈[0, 1). This confirms a conjecture of Kalle et al. for β a multinacci number.