The least degree of a CM point on a modular curve
The least degree of a CM point on a modular curve
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模曲线上 CM 点的最小次数
DOI：
10.1112/jlms.12518
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Saia, Frederick
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Clark, Pete L.;Genao, Tyler;Pollack, Paul;Saia, Frederick
对于定义在Q$\mathbb {Q}$上的模曲线X= X 0（N）$X = X_0（N）$，X1（N）$X_1（N）$或X1（M，N）$X_1（M，N）$，我们用dCM（X）$d_{\operatorname{CM}（X）$表示X$X$上CM点的最小度。对于每一个判别式Δ<0 $\Delta < 0$，我们通过判别式Δ$\Delta$的阶来确定X 0（N）X 0（N）$上一个点的最小度。这使我们能够将dCM（X）$d_{\operatorname{CM}}（X）$作为一个“算术函数”来研究，并且我们这样做，得到各种上界、下界和典型界。我们推断，所有的，但在每个家庭的许多曲线有零星的CM点。最后，我们用一个计算研究来补充这些结果，例如，精确地计算对于N = 106 $N\leqslang 10^6$的dCM（X 0（N））$d_{\operatorname {CM}}（X_0（N））$和dCM（X1（N））$d_{\operatorname{CM}}（X_1（N））$，并确定X 0（N）$X_0（N）$（分别为X1（N）$X_1（N）$，X1（M，N）$X_1（M，N）$）除了106个N$值（分别为227个N$值，146对（M，N）$（M，N）$，其中M = 2$M \geqslane 2$）之外，都有零星的CM点。
For a modular curve X=X0(N)$X = X_0(N)$, X1(N)$X_1(N)$ or X1(M,N)$X_1(M,N)$ defined over Q$\mathbb {Q}$, we denote by dCM(X)$d_{\operatorname{CM}}(X)$ the least degree of a CM point on X$X$. For each discriminant Δ<0$\Delta < 0$, we determine the least degree of a point on X0(N)$X_0(N)$ with CM by the order of discriminant Δ$\Delta$. This places us in a position to study dCM(X)$d_{\operatorname{CM}}(X)$ as an ‘arithmetic function’ and we do so, obtaining various upper bounds, lower bounds and typical bounds. We deduce that all but finitely many curves in each of the families have sporadic CM points. Finally, we supplement these results with a computational study, for example, computing dCM(X0(N))$d_{\operatorname{CM}}(X_0(N))$ and dCM(X1(N))$d_{\operatorname{CM}}(X_1(N))$ exactly for N⩽106$N \leqslant 10^6$ and determining whether X0(N)$X_0(N)$ (respectively, X1(N)$X_1(N)$, X1(M,N)$X_1(M,N)$) has sporadic CM points for all but 106 values of N$N$ (respectively, 227 values of N$N$, 146 pairs (M,N)$(M,N)$ with M⩾2$M \geqslant 2$).
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DOI：
10.1016/s0764-4442(99)80469-8
发表时间：
1999
期刊：
Comptes Rendus De L Academie Des Sciences Serie I-mathematique
影响因子：
--
作者：
M. Hindry;J. Silverman
通讯作者：
J. Silverman
DOI：
10.1142/s1793042112501436
发表时间：
2009
期刊：
arXiv: Number Theory
影响因子：
--
作者：
P. L. Clark;Brian Cook;James Stankewicz
通讯作者：
James Stankewicz
典型的边界扭转
影响因子：
0.7
作者：
P. L. Clark;Marko Milosevic;P. Pollack
通讯作者：
P. Pollack
DOI：
10.1007/bf01301288
发表时间：
1958
期刊：
Monatshefte für Mathematik
影响因子：
--
作者：
K. Prachar
通讯作者：
K. Prachar
奇次数域上 CM 椭圆曲线的扭转子群
DOI：
10.1093/imrn/rnw163
发表时间：
2016
期刊：
arXiv: Number Theory
影响因子：
--
作者：
Abbey Bourdon;P. Pollack
通讯作者：
P. Pollack