Triforce and corners
Triforce and corners
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三角力和角点
DOI：
10.1017/s0305004119000173
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发表时间：
2020
影响因子：
0.8
通讯作者：
ZHAO, YUFEI
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
FOX, JACOB;SAH, ASHWIN;SAWHNEY, MEHTAAB;STONER, DAVID;ZHAO, YUFEI
三合力可能是六个顶点上的边为{123‘，12’3，1‘23}的3-一致超图。证明了边密度为δ的3-一致超图的最小三重力密度是δ4-o(1)，而不是O(δ4).设M(δ)是最大数，使得：对每个∊>；0且当n足够大时，如果A⊆G×G且A≥δ|G|2，则存在一个非零的“流行差”d∈G使得“角点”(x，y)，(x+d，y)，(x，y+d)∈A的个数至少为(M(δ)-∊)|G|2.根据最近的一个结果，我们得出M(δ)=δ4-o(1)和M(δ)=ω(δ4).另一方面，对于0<；δ<；1/2且N足够大时，存在一个⊆[N]3，其中|A|≥δN3使得对于每个d≠0，角点数(x，y，z)，(x+d，y，z)，(x，y+d，z)，(x，y，z+d)∈A至多为δc≠(1/∈)N3。类似的界限在更高的维度上也成立，或者对于任何至少具有5个点或仿射维度至少3的构型都成立。
May the triforce be the 3-uniform hypergraph on six vertices with edges {123′, 12′3, 1′23}. We show that the minimum triforce density in a 3-uniform hypergraph of edge density δ is δ4–o(1) but not O(δ4).Let M(δ) be the maximum number such that the following holds: for every ∊ > 0 and with n sufficiently large, if A ⊆ G × G with A ≥ δ|G|2, then there exists a nonzero “popular difference” d ∈ G such that the number of “corners” (x, y), (x + d, y), (x, y + d) ∈ A is at least (M(δ)–∊)|G|2. As a corollary via a recent result of Mandache, we conclude that M(δ) = δ4–o(1) and M(δ) = ω(δ4).On the other hand, for 0 < δ < 1/2 and sufficiently large N, there exists A ⊆ [N]3 with |A| ≥ δN3 such that for every d ≠ 0, the number of corners (x, y, z), (x + d, y, z), (x, y + d, z), (x, y, z + d) ∈ A is at most δc log(1/δ)N3. A similar bound holds in higher dimensions, or for any configuration with at least 5 points or affine dimension at least 3.
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