Divisibility by 2 of Stirling-like numbers
Divisibility by 2 of Stirling-like numbers
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DOI：
10.1090/s0002-9939-1990-1036984-4
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发表时间：
1990-03
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
D. M. Davis
中科院分区：
文献类型：
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作者：
D. M. Davis
我们给出形如\(f(n)=v(nE)\)的函数的一种刻画，其中\(v(\cdot)\)表示\(2\)的幂次，\(E\)是一个\(2\)-进整数。我们表明它适用于函数\(f(n)=v(a\times5^{n}+b\times3^{n}+c)\)在偶数或奇数整数上的限制，其中\(a\)、\(b\)和\(c\)有适度的限制条件。这个函数与某些第二类斯特林数的整除性密切相关。设\(v(m)\)表示\(m\)中\(2\)的幂次，设\(N\)表示非负整数集。我们的第一个结果是某类函数的一种刻画。我们把一个\(2\)-进整数看作是不同\(2\)的幂次的可能无限和。
定理\(1\)。设\(f\)是一个从\(N\)到\(N\cup\{\infty\}\)的函数。那么以下条件等价：
\((i)\) 存在一个\(2\)-进整数\(E\)，使得对于所有\(n\)，\(f(n)=v(nE)\)；
\((ii)\) 对于所有\(n\)和\(d\)，如果\(d<f(n)\)，则\(f(n + d)=f(n)\)；如果\(d = f(n)\)，则\(f(n + d)\geq f(n)\)；如果\(d>f(n)\)，则\(f(n + d)>f(n)\)；
\((iii)\) \(f\)满足\((a)\)对于所有\(n\)，\(f(n + 2^{f(n)})>f(n)\)，以及\((b)\)如果\(d = 2^{e}\)，其中\(e<f(n)\)，则\(f(n + d)=f(n)\)。
1989年9月29日收到编辑来稿，1990年1月11日修订后收到。1980年数学学科分类（1985年修订）。主分类号\(11B73\)。
We give a characterization of functions of the form f(n) = v(n E), where v(-) denotes the exponent of 2, and E is a 2-adic integer. We show that it applies to the restriction to even or odd integers of the function f (n) = v(a * 5n + b * 3n + c), with mild restrictions on a, b, and c. This function is closely related to divisibility of certain Stirling numbers of the second kind. Let v (m) denote the exponent of 2 in m, and let N denote the set of nonnegative integers. Our first result is a characterization of a certain class of functions. We think of a 2-adic integer as a possibly infinite sum of distinct 2-powers. Theorem 1. Let f be a function N -k N U {oo}. Then the following are equivalent: (i) There is a 2-adic integer E such that f(n) = v(n E) for all n; (ii) For all n and d, = =d if d f(n) if d = f(n) =f(n) if d > f(n); (iii) f satisfies (a) for all n, f (n + 2f (n)) > f(n), and (b) if d 1 2e, with e1 f(n). Received by the editors September 29, 1989 and, in revised form, January 11, 1990. 1980 Mathematics Subject Classification (1985 Revision). Primary 11 B73.