On the Generalized Springer Correspondence for Exceptional Groups
On the Generalized Springer Correspondence for Exceptional Groups
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关于特殊群体的广义施普林格对应
DOI：
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发表时间：
1985
期刊：
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通讯作者：
N. Spaltenstein
中科院分区：
文献类型：
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作者：
N. Spaltenstein
令 G 为在代数闭域 k 上定义的连通还原代数群。令 Q3G 为 G 的 Borel 子群的变体，对于 x e G 令 Q3~={B e Q3GIB;) x}。 Springer [28] 已经证明 G 的 Weyl 群 W 自然地作用于 .e-adic 上同调群 Hi(Q3~; Qi)（.e 一个质数，.e*char(k»。我们在这里应该考虑 Lusztig [13] 定义的 W 的作用，而不是 Springer 最初定义的作用（它们同意通过 W [10] 的符号表示进行张量；而且 [13] 中不需要对特性进行限制）。 H 是一个有限群，令 H" 为 H 的不可约 Qr 表示的所有同构类的集合。对于 x e G，有限群 AG(x)= CaCx)/C~(x) 作用于 H*(Q3~)（我们将省略 Qt），并且该作用与 W 的作用可交换。令 d",=dimQ3~) 中的 WXAG(x) 在 H2dz()8~) 中的作用为特别有趣。对于任何peW"，都存在单能元素u e G 和 œ AG(u)"，使得 p®¢ 出现在 H2d"()8~) 中。此外，(u, ¢) 对在 G 共轭方面是唯一的，并且 p®¢ 在 H2d"()8~) 中与多重 1 一起出现。然后我们写 p=p~,~。在大多数情况下，从 W" 到 (u, ¢) 对的共轭类集合 JIf G（u e G 单能， ¢ e AG(u)"）的单射映射是明确已知的。如果特性良好，则由 Shoji [22] [23] (G classic, F4)、Springer [28] (Gz)、Alvis、Lusztig 和作者 [3] (En. n=6, 7, 8) 描述。特征 2 中的经典群在[17]中进行了处理。在此我们将考虑具有不良特征的特殊群体。我们还将关注 Lusztig 对 Springer 通信的概括 [14]。考虑一对 (u, ¢)（u e G 单能， ¢ e AG(U)A）。 Lusztig 将一个 4 元组 (L, v, t, p)（或者更确切地说是此类对象的 G 共轭类）附加到 (u, ¢)，其中 L 是 G 的某个抛物线子群的 Levi 因子，veL 是单能的，te Aiv)", p e (NG(L)/L)"。如果 L=G，则 (v, t) 与 (u, ∨) 共轭，并且 p 自动是平凡的，我们说 (u, ∨) 对于 G 来说是尖点。 Lusztig 的构造特别具有以下性质。它定义了 JIf G 和 4 元组 (L, v, t, p) 的 G 共轭类的集合 fll' G 之间的双射，如上所述，其中 (v, t) 是尖点
Let G be a connected reductive algebraic group defined over an algebraically closed field k. Let Q3G be the variety of Borel subgroups of G, and for x e G let Q3~={B e Q3GIB;) x}. Springer [28] has shown that the Weyl group W of G acts naturally on the .e-adic cohomology groups Hi(Q3~; Qi) (.e a prime, .e*char(k». We shall consider here the action of W defined by Lusztig [13] rather than that defined originally by Springer (they agree up to tensoring by the sign representation of W [10]; moreover no restriction on the characteristic is needed in [13]). If H is a finite group, let H" be the set of all isomorphism classes of irreducible Qrrepresentations of H. For x e G the finite group AG(x)= CaCx)/C~(x) acts on H*(Q3~) (we shall omit the Qt), and this action commutes with that of W. Let d",=dimQ3~. The action of WXAG(x) in H2dz()8~) turns out to be particularly interesting. For any peW" there exist a unipotent element u e G and ¢ e AG(u)" such that p®¢ occurs in H2d"()8~). Moreover the pair (u, ¢) is unique up to G-conjugation, and p®¢ occurs with multiplicity one in H2d"()8~). We write then p=p~,~. This injective map from W" to the set JIf G of conjugacy classes of pairs (u, ¢) (u e G unipotent, ¢ e AG(u)") is explicitly known in most cases. If the characteristic is good, it is described by Shoji [22] [23] (G classical, F4), Springer [28] (Gz), Alvis, Lusztig and the author [3] (En. n=6, 7, 8). Classical groups in characteristic 2 are treated in [17]. We shall consider here exceptional groups in bad characteristic. We shall also be concerned with Lusztig's generalization of Springer's correspondence [14]. Consider a pair (u, ¢) (u e G unipotent, ¢ e AG(U)A). Lusztig attaches to (u, ¢) a 4-tuple (L, v, t, p) (or rather a G-conjugacy class of such objects), where L is a Levi factor of some parabolic subgroup of G, veL is unipotent, t e Aiv)", p e (NG(L)/L)". If L=G, then (v, t) is conjugate to (u, ¢) and p is automatically trivial, and we say that (u, ¢) is cuspidal for G. Lusztig's construction has in particular the following properties. It defines a bijection between JIf G and the set fll' G of G-conjugacy classes of 4-tuples (L, v, t, p) as above for which (v, t) is cuspidal