Grid-free Monte Carlo for PDEs with spatially varying coefficients
Grid-free Monte Carlo for PDEs with spatially varying coefficients
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用于具有空间变化系数的偏微分方程的无网格蒙特卡罗
DOI：
10.1145/3528223.3530134
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发表时间：
2022
影响因子：
6.2
通讯作者：
Crane, Keenan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Sawhney, Rohan;Seyb, Dario;Jarosz, Wojciech;Crane, Keenan
具有空间变化系数的偏微分方程（PDE）出现在科学和工程中，模拟丰富的非均质材料行为。然而，传统的PDE求解器与自然界中发现的巨大复杂性作斗争，因为它们必须首先将问题离散化-导致空间混叠和全局网格化/采样，这是昂贵且容易出错的。我们描述了一种方法，既不近似域的几何形状，问题的数据，也没有解决方案的空间，提供精确的解决方案（在预期中），即使是非常详细的几何形状和复杂的系数的问题。我们的主要贡献是扩展thewalk上的球体（WoS）算法从常数到可变系数的问题，从体积绘制技术。特别是，一个方法的启发null-scatteringyield无偏蒙特卡罗估计的一大类的二阶椭圆偏微分方程，其中共享许多有吸引力的功能与蒙特卡罗渲染：没有网格，平凡的并行性，并能够评估在任何点的解决方案，而无需解决一个全球性的方程组。
Partial differential equations (PDEs) with spatially varying coefficients arise throughout science and engineering, modeling rich heterogeneous material behavior. Yet conventional PDE solvers struggle with the immense complexity found in nature, since they must first discretize the problem---leading to spatial aliasing, and global meshing/sampling that is costly and error-prone. We describe a method that approximates neither the domain geometry, the problem data, nor the solution space, providing the exact solution (in expectation) even for problems with extremely detailed geometry and intricate coefficients. Our main contribution is to extend thewalk on spheres (WoS)algorithm from constant- to variable-coefficient problems, by drawing on techniques from volumetric rendering. In particular, an approach inspired bynull-scatteringyields unbiased Monte Carlo estimators for a large class of 2nd order elliptic PDEs, which share many attractive features with Monte Carlo rendering: no meshing, trivial parallelism, and the ability to evaluate the solution at any point without solving a global system of equations.
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--
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J. Zagajac