Numerical existence proofs and explicit bounds for solutions of nonlinear elliptic boundary value problems
Numerical existence proofs and explicit bounds for solutions of nonlinear elliptic boundary value problems
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非线性椭圆边值问题解的数值存在证明和显式界限
作者：
M. Plum
对于Ω上−ΔU+F(x, U, Ux)=0，ϖΩ上B[U]=0形式的椭圆边值问题，非线性度F相对于梯度Ux至多呈二次方增长，并且具有混合型线性边界算子B，提出了一种数值方法，可用于证明某个近似解的“闭合”H1,4(Ω)邻域内解的存在性满足边界条件，前提是缺陷范数∥−Δω +F(·, ω, ωx)∥2 足够小，而且，给定问题在 ω 处的线性化导致可逆算子 L。主要工具是显式 Sobolev 嵌入和 L 或 L*L 的特征值界限。避免了各种单调性或逆正性假设。ZusammenfassungGegeben sei ein elliptisches Randwertproblem der Form −ΔU+F(x, U, Ux)=0 auf Ω,B[U]=0 auf ϖΩ, mit einer NichtlinearitätF, die einerquadratischen Wachstumsbedingung bezüglich des GradientenUx genügt，和 mit einem Linearen RandoperatorB von gemischtem Typ。 Es wird eine numerische Methode vorgestellt, mit deren Hilfe sich die Existenz einer Lösung innerhalb einer “kleinen”H1,4(Ω)-Umgebung einer Näherungslösung ωεH2(Ω), die die die Randbedingung erfüllt, nachweisen läßt, sofern die Defektnorm ∥−Δω +F(·, ω, ωx)∥2 是 ω 中的线性化问题和反向操作符中的问题。 Die wesentlichen Hilfsmittel sind explizite Sobolevsche Einbettungen und Eigenwertschranken fürL oderL*L。 Jegliche Monotonie- und Inverspositivitätsbedingungen werden vermieden。
For elliptic boundary value problems of the form −ΔU+F(x, U, Ux)=0 on Ω,B[U]=0 on ϖΩ, with a nonlinearityF growing at most quadratically with respect to the gradientUx and with a mixed-type linear boundary opeatorB, a numerical method is presented which can be used to prove the existence of a solution within a “close”H1,4(Ω)-neighborhood of some approximate solution ω∈H2(Ω) satisfying the boundary condition, provided that the defect-norm ∥−Δω +F(·, ω, ωx)∥2 is sufficiently small and, moreover, the linearization of the given problem at ω leads to an invertible operatorL. The main tools are explicit Sobolev imbeddings and eigenvalue bounds forL or forL*L. All kinds of monotonicity or inverse-positivity assumptions are avoided.ZusammenfassungGegeben sei ein elliptisches Randwertproblem der Form −ΔU+F(x, U, Ux)=0 auf Ω,B[U]=0 auf ϖΩ, mit einer NichtlinearitätF, die einer quadratischen Wachstumsbedingung bezüglich des GradientenUx genügt, und mit einem linearen RandoperatorB von gemischtem Typ. Es wird eine numerische Methode vorgestellt, mit deren Hilfe sich die Existenz einer Lösung innerhalb einer “kleinen”H1,4(Ω)-Umgebung einer Näherungslösung ω∈H2(Ω), die die Randbedingung erfüllt, nachweisen läßt, sofern die Defektnorm ∥−Δω +F(·, ω, ωx)∥2 hinreichend klein ist und ferner die Linearisierung des gegebenen Problems in ω auf einen invertierbaren OperatorL führt. Die wesentlichen Hilfsmittel sind explizite Sobolevsche Einbettungen und Eigenwertschranken fürL oderL*L. Jegliche Monotonie- und Inverspositivitätsbedingungen werden vermieden.