Heilbronn's conjecture on Waring's number (mod p)
Heilbronn's conjecture on Waring's number (mod p)
复制标题
DOI：
10.1016/j.jnt.2006.12.001
复制
发表时间：
2007-08
影响因子：
0.7
通讯作者：
James Arthur Cipra;Todd Cochrane;Christopher G. Pinner
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
James Arthur Cipra;Todd Cochrane;Christopher G. Pinner
设p是素数k| p−1，t=（p−1）/k和γ（k，p）是s的最小值，使得每个数都是s的k次幂和（modp）。证明了海尔布龙猜想：当t>2时，γ（k，p）≠ k 1/2.更一般地，我们证明了对于任何正整数q，γ（k，p）<$C（q）k1/q，其中<$（t）<$q。一个可比的下限也给出了。我们还建立了当k（t）=2时γ（k，p）的精确值。例如，当t=3时，γ（k，p）=a+B−1，其中a>B>0是唯一整数，且a2+b2+ab=p;当t=4时，γ（k，p）=a−1，其中a>B>0是唯一整数，且a2+b2= p。
Let p be a prime k|p−1, t=(p−1)/k and γ(k,p) be the minimal value of s such that every number is a sum of s kth powers (modp). We prove Heilbronn's conjecture that γ(k,p)≪k1/2for t>2. More generally we show that for any positive integer q, γ(k,p)⩽C(q)k1/qfor ϕ(t)⩾q. A comparable lower bound is also given. We also establish exact values for γ(k,p) when ϕ(t)=2. For instance, when t=3, γ(k,p)=a+b−1 where a>b>0 are the unique integers with a2+b2+ab=p, and when t=4, γ(k,p)=a−1 where a>b>0 are the unique integers with a2+b2=p.