A Characterization of Some Mixed Volumes via the Brunn–Minkowski Inequality
A Characterization of Some Mixed Volumes via the Brunn–Minkowski Inequality
复制标题
通过 Brunn-Minkowski 不等式描述某些混合体积
DOI：
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发表时间：
2012
影响因子：
1.1
通讯作者：
E. Saorín Gómez
中科院分区：
文献类型：
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作者：
A. Colesanti;D. Hug;E. Saorín Gómez
我们考虑在形式 ℝn 的凸体空间上的函数 documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$mathcal{F}$end{document} documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{文档}$$ {mathcal{F}}(K)=int_{mathbb{S}^{n-1}} f(u) mathrm{S}_{n-1}(K,du), $$end{document} 其中 documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$fin C(mathbb{S}^{n-1})$end{document} 是 ℝn 单位球面上给定的连续函数，K 是 ℝn 中的凸体，n≥3，Sn−1(K,⋅) 是 K 的面积测度。我们证明 documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$mathcal{F}$end{document} 满足 Brunn–Minkowski 型不等式当且仅当 f 是凸体的支持函数，即 documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$mathcal{F}$end{document} 是混合卷。因此，我们获得了平移不变性、连续估值的表征，其在 n−1 级上是同质的，并且满足 Brunn-Minkowski 型不等式。
We consider a functional documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$mathcal{F}$end{document} on the space of convex bodies in ℝn of the form documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$$ {mathcal{F}}(K)=int_{mathbb{S}^{n-1}} f(u) mathrm{S}_{n-1}(K,du), $$end{document} where documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$fin C(mathbb{S}^{n-1})$end{document} is a given continuous function on the unit sphere of ℝn, K is a convex body in ℝn, n≥3, and Sn−1(K,⋅) is the area measure of K. We prove that documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$mathcal{F}$end{document} satisfies an inequality of Brunn–Minkowski type if and only if f is the support function of a convex body, i.e., documentclass[12pt]{minimal} usepackage{amsmath} usepackage{wasysym} usepackage{amsfonts} usepackage{amssymb} usepackage{amsbsy} usepackage{mathrsfs} usepackage{upgreek} setlength{oddsidemargin}{-69pt} egin{document}$mathcal{F}$end{document} is a mixed volume. As a consequence, we obtain a characterization of translation invariant, continuous valuations which are homogeneous of degree n−1 and satisfy a Brunn–Minkowski type inequality.