On tree coalgebras and coalgebra presentations
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关于树余代数和余代数演示
DOI：
10.1016/s0304-3975(03)00378-5
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发表时间：
2004
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
H. Porst
中科院分区：
文献类型：
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作者：
J. Adámek;H. Porst
对于确定性系统（表示为多项式函子上的余代数），每棵树 t（最终余代数的一个元素）最终都代表一个新的余代数 At。这个余代数族的普遍性质，类似于自由性，是对于每个系统 S 的每个状态 s，都存在一个唯一的余代数同态，它以 t 为根到 s。因此，树代数是有限可表示的，并形成一个强大的生成器。因此，这些余代数类别是局部有限可表示的；特别是，每个系统都是有限可表示系统的过滤余限。相反，对于表示为有限幂集函子上的余代数的过渡系统，我们表明存在无法过滤有限可表示（=有限）系统的余限的系统。令人惊讶的是，如果 λ 是不可数基数，那么 λ 表示总是表现良好：每当内函子 F 保留 λ 过滤余极限（即 λ 可达）时，那么 λ 表示的余代数正是其底层对象是 λ 表示的代数。因此，每个 F 余代数都是 λ 表示的余代数的 λ 过滤余极限；因此 Coalg F 是一个局部 λ 可表示的类别。 （这适用于具有 ω 链余限的 λ 可访问类别的所有内函子。） 推论：在 Kawahara 和 Mori 的意义上，集合函子在 λ 处有界，当且仅当它是 λ+ 可访问的。
For deterministic systems, expressed as coalgebras over polynomial functors, every tree t (an element of the final coalgebra) turns out to represent a new coalgebra At. The universal property of this family of coalgebras, resembling freeness, is that for every state s of every system S there exists a unique coalgebra homomorphism from a unique Atwhich takes the root of t to s. Consequently, the tree coalgebras are finitely presentable and form a strong generator. Thus, these categories of coalgebras are locally finitely presentable; in particular every system is a filtered colimit of finitely presentable systems. In contrast, for transition systems expressed as coalgebras over the finite-power-set functor we show that there are systems which fail to be filtered colimits of finitely presentable (=finite) ones. Surprisingly, if λ is an uncountable cardinal, then λ-presentation is always well-behaved: whenever an endofunctor F preserves λ-filtered colimits (i.e., is λ-accessible), then λ-presentable coalgebras are precisely those whose underlying objects are λ-presentable. Consequently, every F coalgebra is a λ-filtered colimit of λ-presentable coalgebras; thus Coalg F is a locally λ-presentable category. (This holds for all endofunctors of λ-accessible categories with colimits of ω-chains.) Corollary: A set functor is bounded at λ in the sense of Kawahara and Mori iff it is λ+-accessible.