Nodal sets of Laplace eigenfunctions: estimates of the Hausdorff measure in dimension two and three
Nodal sets of Laplace eigenfunctions: estimates of the Hausdorff measure in dimension two and three
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DOI：
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发表时间：
2016-05
期刊：
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通讯作者：
A. Logunov;E. Malinnikova
中科院分区：
文献类型：
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作者：
A. Logunov;E. Malinnikova
设$\Delta_M$是n维紧致无边界黎曼流形上的拉普拉斯算子。我们研究了它的特征函数u：\Delta u + \lambda u =0$的零点集。在维数n=2的情况下，我们通过证明H^1（\{u=0 \}）\le C\lambda^{3/4-\beta}$，$\beta \in（0，1/4）$来改进Donnelly-Fergusman估计。这个证明使用了Donnelli-February man估计和一个组合论证，它也给出了维数$n=3$的一个下界（非尖锐）：$H^2（\{u=0\}）\ge c\lambda^\alpha$，$\alpha \in（0，1/2）$。正常数$c，C$依赖于流形，$\alpha$和$\beta$是普适的。
Let $\Delta_M$ be the Laplace operator on a compact $n$-dimensional Riemannian manifold without boundary. We study the zero sets of its eigenfunctions $u:\Delta u + \lambda u =0$. In dimension $n=2$ we refine the Donnelly-Fefferman estimate by showing that $H^1(\{u=0 \})\le C\lambda^{3/4-\beta}$, $\beta \in (0,1/4)$. The proof employs the Donnelli-Fefferman estimate and a combinatorial argument, which also gives a lower (non-sharp) bound in dimension $n=3$: $H^2(\{u=0\})\ge c\lambda^\alpha$, $\alpha \in (0,1/2)$. The positive constants $c,C$ depend on the manifold, $\alpha$ and $\beta$ are universal.