The Kato-Ponce Inequality
The Kato-Ponce Inequality
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DOI：
10.1080/03605302.2013.822885
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发表时间：
2013-03
影响因子：
1.9
通讯作者：
Loukas Grafakos;Seungly Oh
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Loukas Grafakos;Seungly Oh
在本文中，我们根据一个函数的 L p 范数与另一个函数的贝塞尔势 J s（分别是里斯势 D s ）的 L q 范数的乘积，重新审视 Kato 和 Ponce 的不等式，涉及两个函数乘积的贝塞尔势 J s = (1 − Δ) s/2 （或里斯势 D s = (− Δ) s/2）的 L r 范数。这里，下标 p、q 和 r 之间的关系如霍尔德不等式 1/p + 1/q = 1/r，并且它们满足 1 ≤ p、q ≤ ∞ 和 1/2 ≤ r < ∞ 和 。当 p 或 q 等于 1 时，估计也是弱类型的。在 r < 1 的情况下，我们通过一个例子表明不等式何时失效。此外，我们将这些结果扩展到多参数情况。
In this article we revisit the inequalities of Kato and Ponce concerning the L r norm of the Bessel potential J s = (1 − Δ) s/2 (or Riesz potential D s = (− Δ) s/2) of the product of two functions in terms of the product of the L p norm of one function and the L q norm of the Bessel potential J s (resp. Riesz potential D s ) of the other function. Here the indices p, q, and r are related as in Hölder's inequality 1/p + 1/q = 1/r and they satisfy 1 ≤ p, q ≤ ∞ and 1/2 ≤ r < ∞ and . Also the estimate is of weak-type when either p or q is equal to 1. In the case r < 1 we indicate via an example that when the inequality fails. Furthermore, we extend these results to the multi-parameter case.