Analysis of GMRES for Low‐Rank and Small‐Norm Perturbations of the Identity Matrix
Analysis of GMRES for Low‐Rank and Small‐Norm Perturbations of the Identity Matrix
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单位矩阵低秩和小范数扰动的 GMRES 分析
DOI：
10.1002/pamm.202200267
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发表时间：
2023
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Embree, Mark
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Carr, Arielle K.;de Sturler, Eric;Embree, Mark
在许多应用中，线性系统的系数矩阵采用特殊形式I +K+E，其中I是n维单位矩阵，秩（K）=p <$n，且<$E <$≤ <$< 1。系数矩阵为I + K和I + E形式的线性系统的GMRES收敛速度由众所周知的理论保证，但目前只存在I +K+ E形式的矩阵的相对较弱的收敛界。本文通过考虑I +K的伪谱，研究了具有这类系数矩阵的线性方程组的收敛性。当近似求解线性方程组（I+K+E）x=band时，我们得到了GMRES残差的一个界，并确定了I + K对扰动敏感的特征值。特别是，虽然远离原点的聚类谱通常是快速GMRES收敛的良好指标，但当其中一些特征值处于病态时，收敛可能会很慢。我们发现，可以有最多2 peigen值的I + K是敏感的小扰动。我们提出的数值结果时，使用GMRES解决一系列的线性系统的形式（I+Kj+Ej）xj= bj所产生的应用Broyden的方法来解决一个非线性偏微分方程。
In many applications, linear systems arise where the coefficient matrix takes the special formI+K+E, whereIis the identity matrix of dimensionn, rank(K) =p≪n, and ∥E∥ ≤ ϵ < 1. GMRES convergence rates for linear systems with coefficient matrices of the formsI+KandI+Eare guaranteed by well‐known theory, but only relatively weak convergence bounds specific to matrices of the formI+K+Ecurrently exist. In this paper, we explore the convergence properties of linear systems with such coefficient matrices by considering the pseudospectrum ofI+K. We derive a bound for the GMRES residual in terms of ϵ when approximately solving the linear system (I+K+E)x=band identify the eigenvalues ofI+Kthat are sensitive to perturbation. In particular, while a clustered spectrum away from the origin is often a good indicator of fast GMRES convergence, that convergence may be slow when some of those eigenvalues are ill‐conditioned. We show there can be at most 2peigenvalues ofI+Kthat are sensitive to small perturbations. We present numerical results when using GMRES to solve a sequence of linear systems of the form (I+Kj+Ej)xj=bjthat arise from the application of Broyden's method to solve a nonlinear partial differential equation.
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DOI：
10.1137/120884328
发表时间：
2013-07
期刊：
SIAM J. Matrix Anal. Appl.
影响因子：
--
作者：
Josef A. Sifuentes;M. Embree;R. Morgan
通讯作者：
Josef A. Sifuentes;M. Embree;R. Morgan
对预处理系统 GMRES 收敛的评论
DOI：
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发表时间：
2009
期刊：
Large-Scale Scientific Computing
影响因子：
--
作者：
N. Gmati;B. Philippe
通讯作者：
B. Philippe
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DOI：
10.1137/100805467
发表时间：
2010
期刊：
SIAM J. Sci. Comput.
影响因子：
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作者：
K. Ahuja;B. Clark;E. D. Sturler;D. Ceperley;Jeongnim Kim
通讯作者：
Jeongnim Kim
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DOI：
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发表时间：
2004
期刊：
影响因子：
--
作者：
C. Kelley;I. Kevrekidis;L. Qiao
通讯作者：
L. Qiao