Morse theory and existence of periodic solutions of convex hamiltonian systems
Morse theory and existence of periodic solutions of convex hamiltonian systems
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DOI：
10.24033/bsmf.2094
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发表时间：
1988
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
A. Szulkin
中科院分区：
文献类型：
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作者：
A. Szulkin
简历- 关于凸哈密顿系统非常数周期解的存在性问题的兴趣Au. Les solutions correspondent aux points critiques de la fonctionnelle d'action d'actionip.在理论上，C是一个点的1 '轨道（S1的1'自然作用），而U是一个可转换的C轨道，因此D（7，{ip < ip（u）} n U - C）是一个相对于C基的纤维结构。利用该方法和莫尔斯指数的迭代公式，可以在一个凸能量曲面上得到Au更多的两个哈密顿量。为了证明假设他不存在一个账户。在计算莫尔斯的某些名称时，我们发现莫尔斯的关系并不令人满意。摘要。- 研究凸Hamilton系统非常数周期解的存在性问题。这些解对应于对偶作用泛函的临界点。证明了：若C是^的临界点u^0的轨道（在自然^-作用下），且U是C的适当邻域，则对（{^ < ^（u）} HU，[^ < ip（u）} nU-C）具有基空间为C的纤维丛对的结构.利用这个公式和迭代公式的莫尔斯指数，它表明，至少有两个封闭的哈密顿轨道上的凸能量表面。证明是通过假设只有一个轨迹，计算某些莫尔斯型数，并显示莫尔斯关系不满足。
RESUME. — On s'interesse au probleme d'existence des solutions periodiques non constantes des sytemes hamiltoniens convexes. Les solutions correspondent aux points critiques de la fonctionnelle d'action duale ip. On montre que si C est 1'orbite (sous 1'action naturelle de S 1 ) d'un point critique u 7^ 0 de ^ et si U est un voisinage de C convenable, alors la paire ({^ < ^(u)} D (7, {ip < ip(u)} n U — C) a la structure d'un fibre relatif de base C. Utilisant cela et des formules d'iteration pour 1'indice de Morse on montre qu'il y a au moins deux trajectoires hamiltoniennes fermees sur une surface d'energie convexe. Pour la demonstration on suppose qu'il n'existe qu'une trajectoire. On calcule alors certains nombres de Morse et on voit que les relations de Morse ne sont pas satisfaites. ABSTRACT. — The paper is concerned with the problem of existence of nonconstant periodic solutions of convex Hamiltonian systems. The solutions correspond to critical points of the dual action functional ^. It is shown that if C is the orbit (under the natural ^-action) of a critical point u ^ 0 of ^ and if U is a suitable neighbourhood of C, then the pair ({^ < ^(u)} H U, [^ < ip(u)} n U - C) has the structure of a fibre bundle pair with base space C. Using this and iteration formulas for the Morse index it is shown that there are at least two closed Hamiltonian trajectories on a convex energy surface. The proof is carried out by assuming that there is only one trajectory, computing certain Morse type numbers and showing that the Morse relations are not satisfied.