Shimura curves with many uniform dessins
Shimura curves with many uniform dessins
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志村曲线有许多统一的设计
DOI：
10.1007/s00209-011-0889-4
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发表时间：
2012
影响因子：
0.8
通讯作者：
J. Wolfart
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
E. Girondo;D. Torres;J. Wolfart
一个属> 1的紧致黎曼曲面，当且仅当它的曲面群si包含在不同的共轭傅氏三角形groupsΔandαΔα−1中，具有不同的同类型的均匀分布。研究这些共轭的工具和结果取决于whetherΔis是否有等差三角形群。在whenΔis不算数的情况下，可能的共轭子很少而且容易分类。在算术情况下，即对于Shimura曲线，问题要复杂得多，但四元数代数的算术控制了给定类型的均匀分布的数量相对于属的增长。这个数最大增长到asO（g1/3）这个界限很明显。作为一种工具，四元数代数的局部化和作为Serre-Bruhat-Tits树顶点的对进最大阶的表示是至关重要的。从广义上讲，这些结果为克莱因四次曲线和其他麦克白-赫维茨曲线等经典曲线的均匀化提供了令人惊讶的新视角。
A compact Riemann surface of genusg> 1 has different uniform dessins d’enfants of the same type if and only if its surface groupSis contained in different conjugate Fuchsian triangle groupsΔandαΔα−1. Tools and results in the study of these conjugates depend on whetherΔis an arithmetic triangle group or not. In the case whenΔis not arithmetic the possible conjugators are rare and easy to classify. In the arithmetic case, i.e. for Shimura curves, the problem is much more complicated, but the arithmetic of quaternion algebras controls the growth of the number of uniform dessins of given type with respect to the genus. This number grows at most asO(g1/3) and this bound is sharp. As a tool, localization of the quaternion algebras and the representation ofp-adic maximal orders as vertices of Serre–Bruhat–Tits trees turn out to be crucial. In low genera, the results shed a surprising new light on the uniformization of some classical curves like Klein’s quartic and other Macbeath–Hurwitz curves.
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