On equivariant homeomorphisms of boundaries of CAT(0) groups and Coxeter groups
On equivariant homeomorphisms of boundaries of CAT(0) groups and Coxeter groups
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CAT(0)群与Coxeter群边界的等变同胚
DOI：
10.1016/j.difgeo.2015.09.004
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发表时间：
2015
影响因子：
0.5
通讯作者：
Tetsuya Hosaka
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
笹平 裕史;笹平 裕史;Tetsuya Hosaka
在本文中，我们研究了 CAT (0) 群 G 几何作用的两个真 CAT (0) 空间 X 和 Y 的边界 ∂ X 和 ∂ Y 的等变同胚。我们提供了一个充分条件和一个等价条件来获得边界 ∂ X 和 ∂ Y 的 G 等变同胚作为准等距 phi 的连续扩展：G x 0→ G y 0 由 phi (g x 0)= g y 0 定义，其中 x 0 ∈ X 且 y 0 ∈ Y。在本文中，我们说 CAT (0) 群 G 是等变（边界）刚性的，如果 G通过上述等变同胚确定其理想边界。作为一个应用，我们介绍了一些（非）等变刚性 CAT (0) 群的例子，并证明如果 Coxeter 群 W 1 和 W 2 作为反射群是等变刚性的，那么 W 1⁎ W 2 也是等变刚性的。我们还提供了一些 CAT (0) 群边界非刚性的猜想。
In this paper, we investigate an equivariant homeomorphism of the boundaries∂ X and∂ Y of two proper CAT (0) spaces X and Y on which a CAT (0) group G acts geometrically. We provide a sufficient condition and an equivalent condition to obtain a G-equivariant homeomorphism of the boundaries∂ X and∂ Y as a continuous extension of the quasi-isometry ϕ: G x 0→ G y 0 defined by ϕ (g x 0)= g y 0, where x 0∈ X and y 0∈ Y. In this paper, we say that a CAT (0) group G is equivariant (boundary) rigid, if G determines its ideal boundary by the equivariant homeomorphisms as above. As an application, we introduce some examples of (non-) equivariant rigid CAT (0) groups and we show that if Coxeter groups W 1 and W 2 are equivariant rigid as reflection groups, then so is W 1⁎ W 2. We also provide a conjecture on non-rigidity of boundaries of some CAT (0) groups.