PDE acceleration: a convergence rate analysis and applications to obstacle problems
PDE acceleration: a convergence rate analysis and applications to obstacle problems
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PDE 加速：收敛速度分析及其在障碍问题中的应用
DOI：
10.1007/s40687-019-0197-x
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发表时间：
2019
影响因子：
1.2
通讯作者：
Yezzi, Anthony
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Calder, Jeff;Yezzi, Anthony
本文提供了一个严格的收敛速度和复杂性分析最近推出的框架，称为PDE加速，解决问题的变分法，并探讨应用障碍问题。偏微分方程加速法起源于动量法的变分解释，如Nesterov的加速梯度法和Polyak的重球法，将加速法视为广义拉格朗日作用量的运动方程。它的应用凸变分问题产生的运动方程的形式阻尼非线性波动方程，而不是非线性扩散所产生的梯度下降。这些加速偏微分方程可以有效地解决简单的显式有限差分格式的加速实现的CFL条件从扩散方程的波动方程。在本文中，我们证明了强凸问题的PDE加速的线性收敛速度，提供了一个离散格式的复杂性分析，并显示如何最佳地选择线性问题的阻尼参数。然后，我们应用PDE加速来解决最小表面障碍问题，包括双障碍与强迫，和随机均匀化问题的障碍，获得最先进的计算结果。
This paper provides a rigorous convergence rate and complexity analysis for a recently introduced framework, calledPDE acceleration, for solving problems in the calculus of variations and explores applications to obstacle problems. PDE acceleration grew out of a variational interpretation of momentum methods, such as Nesterov’s accelerated gradient method and Polyak’s heavy ball method, that views acceleration methods as equations of motion for a generalized Lagrangian action. Its application to convex variational problems yields equations of motion in the form of a damped nonlinear wave equation rather than nonlinear diffusion arising from gradient descent. Theseaccelerated PDEscan be efficiently solved with simple explicit finite difference schemes where acceleration is realized by an improvement in the CFL condition fromfor diffusion equations tofor wave equations. In this paper, we prove a linear convergence rate for PDE acceleration for strongly convex problems, provide a complexity analysis of the discrete scheme, and show how to optimally select the damping parameter for linear problems. We then apply PDE acceleration to solve minimal surface obstacle problems, including double obstacles with forcing, and stochastic homogenization problems with obstacles, obtaining state-of-the-art computational results.
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