An adjoint-based adaptive error approximation of functionals by the hybridizable discontinuous Galerkin method for second-order elliptic equations
An adjoint-based adaptive error approximation of functionals by the hybridizable discontinuous Galerkin method for second-order elliptic equations
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二阶椭圆方程的可混合间断伽辽金法的基于伴随的泛函自适应误差逼近
DOI：
10.1016/j.jcp.2022.111078
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发表时间：
2022
影响因子：
4.1
通讯作者：
Xia, Shiqiang
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Cockburn, Bernardo;Xia, Shiqiang
本文提出了一种新的，完全可计算的误差逼近和网格自适应方法定义的二阶椭圆方程的泛函。泛函近似的杂交间断伽辽金（HDG）方法和误差近似的伴随为基础的方法和HDG方法的局部后处理技术。与文献中大多数基于伴随的误差估计不同，我们的方法的新奇在于，在不需要辅助更细的网格或高阶近似空间来求解伴随问题的情况下获得误差近似。这降低了计算成本，简化了问题的实现。更重要的是，本地后处理技术可以并行执行，这进一步加快了该方法的速度。我们说明了一个二阶椭圆问题的方法，我们提出了三种类型的泛函的例子：体积积分，边界积分和特征值问题。数值试验与自适应网格细化的非光滑的解决方案，表明我们的方法是有效的和强大的。
This paper presents a novel, fully computable error approximation and mesh adaptation approach for functionals defined by second-order elliptic equations. The functionals are approximated by the hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method and the error approximation is obtained by the adjoint-based method and a local post-processing technique of the HDG method. Unlike most adjoint-based error estimations in the literature, the novelty of our method is that the error approximation is obtained without requiring an auxiliary finer mesh or higher order approximation spaces for solving the adjoint problem. This reduces the computational cost and eases the implementation of the problem. What's more, the local post-processing technique can be carried out in parallel, which speeds up the method even more. We illustrate the method with a second-order elliptic problem and we present examples of three types of functionals: volume integrals; boundary integrals and eigenvalue problems. Numerical tests with adaptive mesh refinements for non-smooth solutions are presented to show that our method is efficient and robust.
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