Well-posedness of low regularity solutions to the second order strictly hyperbolic equations with non-Lipschitzian coefficients
Well-posedness of low regularity solutions to the second order strictly hyperbolic equations with non-Lipschitzian coefficients
复制标题
具有非Lipschitzian系数的二阶严格双曲方程的低正则解的适定性
DOI：
10.3934/cpaa.2019088
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发表时间：
2019-01
影响因子：
1
通讯作者：
Yin Huicheng
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Hu Wenming;Yin Huicheng
在本文中，我们建立了发散形式 \begin{document}$ \partial _t(a_0 \partial _t u)+ \mathop \sum \limits_{j = 1}^n [ \partial _t(a_j \partial _j u)+ \partial _j(a_j \partial _t u)] -\mathop 的一般二阶严格双曲方程的低正则解的局部适定性\sum \limits_{j,k = 1}^n \partial _j(a_{jk} \partial _k u) $\end{document} \begin{document}$ +b_0 \partial _t u+ \partial _t(c_0u)+ \mathop \sum \limits_{j = 1}^n [b_j \partial _ju+ \partial _j(c_ju)] +du = f $\end{document} 位于域 \begin{document}$ \Omega = (0, T_0)\times \mathbb R ^n $\end{document} ，其中系数 \begin{document}$ a_0, a_j, a_{jk}\in L^\infty( \Omega )\cap LL(\bar\Omega) $\end{document} \begin{document}$ (1\le j, k\le n) $\end{文档} , \begin{文档}$ b_0, c_0, b_j, c_j\in L^\infty( \Omega )\cap C^ \alpha (\bar\Omega) $\end{文档} \begin{文档}$ (1\le j\le n) $\end{文档} 为 \begin{文档}$ \alpha \in(\frac{1}{2},1) $\end{document} , \begin{document}$ d\in L^\infty(\Omega) $\end{document} , \begin{document}$ (u(0,x), Xu(0,x))\in (H^{1- \theta +\beta \log}, H^{- \theta +\beta \log}) $\end{document} 与 \begin{document}$ \theta\in (1- \alpha 、 \alpha ) $\end{document} 、 \begin{document}$ \beta\in\Bbb R $\end{document} 和 \begin{document}$ Xu = a_0 \partial _tu+ \mathop \sum \limits_{j = 1}^n a_j \partial _ju $\end{document} 。与之前的参考文献相比，除了空间 \begin{document}$ (H^{1- \theta +\beta \log}, H^{- \theta +\beta \log}) $\end{document} 中的一些更一般的初始数据（仅像以前一样考虑 \begin{document}$ \beta = 0 $\end{document} ），我们将 \begin{document}$ u $\end{document} 的寿命提高到精确的数字在某些合适的条件下，\begin{document}$ T^* $\end{document} 以及 \begin{document}$ \theta $\end{document} 到左端点 \begin{document}$ 1- \alpha $\end{document} 的范围。
In this paper, we establish the local well-posedness of low regularity solutions to the general second order strictly hyperbolic equation of divergence form \begin{document}$ \partial _t(a_0 \partial _t u)+ \mathop \sum \limits_{j = 1}^n [ \partial _t(a_j \partial _j u)+ \partial _j(a_j \partial _t u)] -\mathop \sum \limits_{j,k = 1}^n \partial _j(a_{jk} \partial _k u) $\end{document} \begin{document}$ +b_0 \partial _t u+ \partial _t(c_0u)+ \mathop \sum \limits_{j = 1}^n [b_j \partial _ju+ \partial _j(c_ju)] +du = f $\end{document} in domain \begin{document}$ \Omega = (0, T_0)\times \mathbb R ^n $\end{document} , where the coefficients \begin{document}$ a_0, a_j, a_{jk}\in L^\infty( \Omega )\cap LL(\bar\Omega) $\end{document} \begin{document}$ (1\le j, k\le n) $\end{document} , \begin{document}$ b_0, c_0, b_j, c_j\in L^\infty( \Omega )\cap C^ \alpha (\bar\Omega) $\end{document} \begin{document}$ (1\le j\le n) $\end{document} for \begin{document}$ \alpha \in(\frac{1}{2},1) $\end{document} , \begin{document}$ d\in L^\infty(\Omega) $\end{document} , \begin{document}$ (u(0,x), Xu(0,x))\in (H^{1- \theta +\beta \log}, H^{- \theta +\beta \log}) $\end{document} with \begin{document}$ \theta\in (1- \alpha , \alpha ) $\end{document} , \begin{document}$ \beta\in\Bbb R $\end{document} , and \begin{document}$ Xu = a_0 \partial _tu+ \mathop \sum \limits_{j = 1}^n a_j \partial _ju $\end{document} . Compared with previous references, except a little more general initial data in the space \begin{document}$ (H^{1- \theta +\beta \log}, H^{- \theta +\beta \log}) $\end{document} (only \begin{document}$ \beta = 0 $\end{document} is considered as before), we improve both the lifespan of \begin{document}$ u $\end{document} up to the precise number \begin{document}$ T^* $\end{document} and the range of \begin{document}$ \theta $\end{document} to the left endpoint \begin{document}$ 1- \alpha $\end{document} under some suitable conditions.
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影响因子：
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作者：
F. Colombini;S. Spagnolo
通讯作者：
F. Colombini;S. Spagnolo
DOI：
10.1080/03605302.2013.795968
发表时间：
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F. Colombini;D. Santo;F. Fanelli;Guy M'etivier
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J. Bony
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10.1090/surv/081
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期刊：
--
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