Mittlere Schattengrenzenlänge konvexer Körper
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Mittlere Schattengrenzenlänge konvexer Körper
DOI：
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发表时间：
1985
期刊：
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通讯作者：
P. Steenaerts
中科院分区：
文献类型：
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作者：
P. Steenaerts
Minkowski的查询积分W2(K)与欧氏空间En中凸体K的阴影边界的平均测度α(K)密切相关。在这种关系中，n球B和n多面体P在某种意义上分别表现为极端物体。证明了对光滑K，1=α(B)/β(B)≤α(K)/β(K)≤nωn/πωn−1=α(P)/β(P)，其中β(K)=(n−1)ωn−1W2(K)/ωn，ωk表示k维单位球的体积.几何上，β(K)表示K在超平面上的正交投影的相对边界的平均测度。泛函α的多面体下半连续本质上源于勒贝格区域的一个基本可加性性质，是证明中的一个关键结果。
SummaryMinkowski’s quermassintegral W2(K) and the average measure α(K) of the shadow boundaries of a convex body K in Euclidean space En are closely related. In this relationship n -balls B and n-polytopes P respectively appear in a certain sense as extreme bodies. Verifying a conjecture by P. McMullen, we show for smooth K, that 1 = α(B)/β(B)≤α(K)/β(K)≤nωn/πωn−1=α(P)/β(P), where β(K) = (n−1)ωn−1W2(K)/ωn and ωk denotes the volume of the k -dimensional unit ball. Geometrically β(K) represents the average measure of the relative boundaries of the orthogonal projections of K onto hyperplanes. The polyhedral lower semicontinuity of the functional α, which follows essentially from a fundamental additivity property of the Lebesgue area, is a key-result within the proof.