Spectral square moments of a resonance sum for Maass forms
Spectral square moments of a resonance sum for Maass forms
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DOI：
10.1007/s11464-016-0621-0
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发表时间：
2017-09
影响因子：
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通讯作者：
Nathan Salazar;Y. Ye
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Nathan Salazar;Y. Ye
令 f 为 Γ0(N) 的马斯尖点形式，具有傅立叶系数 λf(n) 和拉普拉斯特征值。对于 realα≠ 0 且 β> 0，考虑 sumSX(f;α,β) = Σnλf(n)e(αnβ)phi(n/X)，其中 phi 是紧支持度的平滑函数。我们证明了 SX(f;α,β) 的第二谱矩的界限，其特征值趋于无穷大。当特征值足够大时，我们获得该总和的平均界限（以 X 表示）。这意味着 iff 的特征值超出了标准共振主项 SX(f;, 1/2),q∈ ℤ+，一般不会出现。该方法采用 GL(2) × GL(2) 的Rankin-SelbergL 函数的次凸界证明。它特别包含了众所周知的振荡积分的渐近展开的证明，其范围扩大了 Kε⩽L⩽K1−ε。对于全纯尖点形式，可以用类似的方式证明相同的界限。
Letfbe a Maass cusp form for Γ0(N) with Fourier coefficients λf(n) and Laplace eigenvalue. For realα≠ 0 andβ> 0, consider the sumSX(f;α,β) = ∑nλf(n)e(αnβ)ϕ(n/X), whereϕis a smooth function of compact support. We prove bounds for the second spectral moment ofSX(f;α,β), with the eigenvalue tending towards infinity. When the eigenvalue is sufficiently large, we obtain an average bound for this sum in terms ofX. This implies that iffhas its eigenvalue beyond, the standard resonance main term forSX(f;, 1/2),q∈ ℤ+, cannot appear in general. The method is adopted from proofs of subconvexity bounds for Rankin-SelbergL-functions for GL(2) × GL(2). It contains in particular a proof of an asymptotic expansion of a well-known oscillatory integral with an enlarged range ofKε⩽L⩽K1−ε. The same bounds can be proved in a similar way for holomorphic cusp forms.