Multiplicative preprojective algebras of Dynkin quivers
Multiplicative preprojective algebras of Dynkin quivers
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Dynkin 箭袋的乘法原射代数
DOI：
10.1016/j.jpaa.2022.107146
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发表时间：
2023
影响因子：
0.8
通讯作者：
Kaplan D
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kaplan D
对交换环R和ADE Dynkin代数Q，证明了参数q= 1的Crawley-Boevey和Shaw的乘法预投射代数与R-代数的（加）预投射代数同构当且仅当Q-2的D型坏素数，Q= E6，E7的2，3和Q= E8-的2，3，5在R中可逆.本文构造了Z [1/2]上D型的显式同构，对Q= E6，E7构造了Z [1/2，1/3]上D型的显式同构，对Q= E8构造了Z [1/2，1/3，1/5]上D型的显式同构.相反，如果一些坏的素数是不可逆的R，我们表明，添加剂和乘法预投射代数不同的零Hochschild同源，因此是不同构的。事实上，人们只需要在乘法预投射代数的第零Hochschild同调中的某些类的消失，利用可能独立感兴趣的同构的刚性化论证。在Ginzburg dg-代数的背景下，我们的障碍是E型的新障碍，并给出了Etgü-Lekili [5，定理13]在D型上的否定结果的一个更初等的证明.此外，在第四节中计算的乘预投射代数的第零Hochschild同调，可以通过货车den Bergh对偶解释为乘Ginzburg dg-代数的无障碍变形空间.最后，我们观察到如果Q <$A1，则乘法预投射代数不是对称Frobenius，这与特征为2的加法预投射代数不同，Q= D2 n，n≥ 2，Q= E7，E8.
For a commutative ring R and an ADE Dynkin quiver Q, we prove that the multiplicative preprojective algebra of Crawley-Boevey and Shaw, with parameter q= 1, is isomorphic to the (additive) preprojective algebra as R-algebras if and only if the bad primes for Q–2 in type D, 2 and 3 for Q= E 6, E 7 and 2, 3 and 5 for Q= E 8–are invertible in R. We construct an explicit isomorphism over Z [1/2] in type D, over Z [1/2, 1/3] for Q= E 6, E 7 and over Z [1/2, 1/3, 1/5] for Q= E 8. Conversely, if some bad prime is not invertible in R, we show that the additive and multiplicative preprojective algebras differ in zeroth Hochschild homology, and hence are not isomorphic. In fact, one only needs the vanishing of certain classes in zeroth Hochschild homology of the multiplicative preprojective algebra, utilizing a rigidification argument for isomorphisms that may be of independent interest. In the setting of Ginzburg dg-algebras, our obstructions are new in type E and give a more elementary proof of the negative result of Etgü–Lekili [5, Theorem 13] in type D. Moreover, the zeroth Hochschild homology of the multiplicative preprojective algebra, computed in Section 4, can be interpreted as the space of unobstructed deformations of the multiplicative Ginzburg dg-algebra by Van den Bergh duality. Finally, we observe that the multiplicative preprojective algebra is not symmetric Frobenius if Q≠ A 1, a departure from the additive preprojective algebra in characteristic 2 for Q= D 2 n, n≥ 2 and Q= E 7, E 8.
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