Generalized Derivations of Lie Algebras
Generalized Derivations of Lie Algebras
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DOI：
10.1006/jabr.1999.8250
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发表时间：
2000-06
影响因子：
0.9
通讯作者：
George F. Leger;E. Luks
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
George F. Leger;E. Luks
设L是有限维李代数，其乘法为μ：L <$L → L。设Δ（L）表示三元组（f，f ′，f ″）的集合，其中f，f ′，f ″ ∈ Hom（L，L），使得μ ∈（f <$IL + IL <$f ′）= f ″ <$μ.考虑李代数GenDer（L）= { f ∈ Hom（L，L）|<$f ′，f ″：（f，f ′，f ″）∈ Δ（L）}. GenDer（L）的子代数包括导子代数Der（L）= { f ∈ Hom（L，L）|（f，f，f）∈ Δ（L）}，质心C（L）= { f ∈ Hom（L，L）|（f，0，f）∈ δ（L）}.我们现在研究子代数QDer（L）= { f ∈ Hom（L，L）|<$f ′：（f，f，f ′）∈ Δ（L）}，子空间QC（L）= { f ∈ Hom（L，L）|（f，− f，0）∈ Δ（L）}。在特征函数λ 2中，GenDer（L）= QDer（L）+ QC（L），我们考虑了包含Der（L）<$QDer（L）和C（L）<$QC（L）<$QDer（L）。若Z（L）= 0，则C（L）= QC（L）<$QDer（L），在适当的条件下，证明了具有toral Cartan子代数的李代数QDer（L）= Der（L）+ C（L）;若L是秩> 1的特征为0的单李代数的抛物子代数，则还证明了GenDer（L）= ad（L）+（I L）.一般来说，QC（L）在复合或李括号下不是封闭的;然而，如果Z（L）= 0，则QC（L）是交换的结合代数，并且我们描述强制QC（L）= C（L）或等价地GenDer（L）= QDer（L）的条件。我们证明了在特征0下，GenDer（L）保持L的根，从而推广了Der（L）的经典结果。我们还讨论了主要结果在研究函数f ∈ Hom（L，L）使得f μ或μ（f ∧ I L）定义李乘法中的一些应用。
Abstract Suppose L is a finite-dimensional Lie algebra with multiplication μ: L ∧ L → L . Let Δ( L ) denote the set of triples ( f , f ′, f ″), with f , f ′, f ″ ∈ Hom( L , L ), such that μ ∘ ( f ∧ I L + I L ∧ f ′) = f ″ ∘ μ. We consider the Lie algebra GenDer( L ) = { f ∈ Hom( L , L )|∃ f ′, f ″: ( f , f ′, f ″) ∈ Δ( L )}. Well-researched subalgebras of GenDer( L ) include the derivation algebra, Der( L ) = { f ∈ Hom( L , L )|( f , f , f ) ∈ Δ( L )}, and the centroid, C( L ) = { f ∈ Hom( L , L )|( f , 0, f ) ∈ δ( L )}. We now study the subalgebra QDer( L ) = { f ∈ Hom( L , L )|∃ f ′: ( f , f , f ′) ∈ Δ( L )}, and the subspace QC( L ) = { f ∈ Hom( L , L )|( f , − f , 0) ∈ Δ( L )}. In characteristic ≠ 2, GenDer( L ) = QDer( L ) + QC( L ) and we are concerned with the inclusions Der( L ) ⊆ QDer( L ) and C( L ) ⊆ QC( L ) ∩ QDer( L ). If Z( L ) = 0 then C( L ) = QC( L ) ∩ QDer( L ) and, under reasonable conditions on Lie algebras with toral Cartan subalgebras, we show QDer( L ) = Der( L ) + C( L ); if L is a parabolic subalgebra of a simple Lie algebra of rank > 1 in characteristic 0, then we even have GenDer( L ) = ad( L ) + ( I L ). In general QC( L ) is not closed under composition or Lie bracket; however, if Z( L ) = 0 then QC( L ) is a commutative, associative algebra, and we describe conditions that force QC( L ) = C( L ) or, equivalently, GenDer( L ) = QDer( L ). We show that, in characteristic 0, GenDer( L ) preserves the radical of L , thus generalizing the classical result for Der( L ). We also discuss some applications of the main results to the study of functions f ∈ Hom( L , L ) such that f ∘ μ or μ ∘ ( f ∧ I L ) defines a Lie multiplication.