The fractal dimensions of the spectrum of Sturm Hamiltonian
The fractal dimensions of the spectrum of Sturm Hamiltonian
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Sturm Hamiltonian 谱的分形维数
DOI：
10.1016/j.aim.2014.02.019
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发表时间：
2013-10
影响因子：
1.7
通讯作者：
Wen, Zhi-Ying
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Liu, Qing-Hui;Qu, Yan-Hui;Wen, Zhi-Ying
设α∈（0，1）是无理数，[0; a1，a2，.]是α的连分式展开式。设H α，V是频率为α的Sturm哈密顿量，耦合V，V α，V是H α，V的谱，Fan，Liu和Wen（2011）[8]在{a n} n <$1有界时确定了谱的分形维数.本文将处理最困难的情况，即{an} n <$1是无界的。证明了对V（V）和dim B α，V= s（V），其中s（V）和s（V）分别是下预维数和上预维数.通过这个结果，我们确定了所有Sturm Hamiltonian的谱的分维。我们还证明了如下结果：s（V）和s（V）在[24，∞）的任何有界区间上是Lipschitz连续的;极限s（V）ln V和s（V）ln V在V趋于无穷大时存在，并且极限是仅依赖于α的常数; s（V）= 1当且仅当lim sup n→∞（a 1 <$an n）1/n=∞，可以与以下事实进行比较：s <$（V）= 1当且仅当lim inf n→∞（a 1 <$an n）1/n=∞（Liu and Wen，2004）[13]。
Abstract Let α∈(0, 1) be irrational and [0; a 1, a 2,…] be the continued fraction expansion of α. Let H α, V be the Sturm Hamiltonian with frequency α and coupling V, Σ α, V be the spectrum of H α, V. The fractal dimensions of the spectrum have been determined by Fan, Liu and Wen (2011)[8] when {a n} n⩾ 1 is bounded. The present paper will treat the most difficult case, ie,{a n} n⩾ 1 is unbounded. We prove that for V⩾ 24, dim H Σ α, V= s⁎(V) and dim¯ B Σ α, V= s⁎(V), where s⁎(V) and s⁎(V) are lower and upper pre-dimensions respectively. By this result, we determine the fractal dimensions of the spectrums for all Sturm Hamiltonians. We also show the following results: s⁎(V) and s⁎(V) are Lipschitz continuous on any bounded interval of [24,∞); the limits s⁎(V) ln V and s⁎(V) ln V exist as V tends to infinity, and the limits are constants only depending on α; s⁎(V)= 1 if and only if lim sup n→∞(a 1⋯ a n) 1/n=∞, which can be compared with the fact: s⁎(V)= 1 if and only if lim inf n→∞(a 1⋯ a n) 1/n=∞(Liu and Wen, 2004)[13].
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