A Geometric Field Theory of Dislocation Mechanics
A Geometric Field Theory of Dislocation Mechanics
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位错力学的几何场论
DOI：
10.1007/s00332-023-09919-9
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发表时间：
2023
影响因子：
3
通讯作者：
Yavari, Arash
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Sozio, Fabio;Yavari, Arash
本文建立了单晶位错动力学和有限塑性的几何场理论。从变形梯度乘分解为弹塑性部分开始，利用Cartan的运动框架，通过微分1-形式来描述变形的晶格结构。在这个理论中，主要的场是位错场，定义为微分2型的集合。然后通过位错场的叠加来确定晶格结构的缺陷含量。所有这些微分形式构成了系统的内部变量。从位错2型的运动学出发，用流动和李氏导数的概念推导了内变量的演化方程。然后通过Orowan方程将其与晶格结构的变化率相结合。利用拉格朗日-达朗贝尔型变分原理的双势方法推导了控制方程。由于在晶格结构随时间变化的非线性环境中，滑移系统的位错动力学是通过在变分原理中施加一些约束来表达的。利用与这些约束相关的拉格朗日乘子，可以得到晶格对位错场施加的力，以使它们在某些给定的晶体平面上保持滑动。此外，几何公式允许人们研究可积性-因此存在-滑翔表面，以及如何影响滑翔运动。最后，导出了小位错密度的线性理论，允许人们识别在线性化设置中不会出现的非线性效应。
In this paper, a geometric field theory of dislocation dynamics and finite plasticity in single crystals is formulated. Starting from the multiplicative decomposition of the deformation gradient into elastic and plastic parts, we use Cartan’s moving frames to describe the distorted lattice structure via differential 1-forms. In this theory, the primary fields are the dislocation fields, defined as a collection of differential 2-forms. The defect content of the lattice structure is then determined by the superposition of the dislocation fields. All these differential forms constitute the internal variables of the system. The evolution equations for the internal variables are derived starting from the kinematics of the dislocation 2-forms, which is expressed using the notions of flow and of Lie derivative. This is then coupled with the rate of change of the lattice structure through Orowan’s equation. The governing equations are derived using a two-potential approach to a variational principle of the Lagrange–d’Alembert type. As in the nonlinear setting the lattice structure evolves in time, the dynamics of dislocations on slip systems is formulated by enforcing some constraints in the variational principle. Using the Lagrange multipliers associated with these constraints, one obtains the forces that the lattice exerts on the dislocation fields in order to keep them gliding on some given crystallographic planes. Moreover, the geometric formulation allows one to investigate the integrability—and hence the existence—of glide surfaces, and how the glide motion is affected by it. Lastly, a linear theory for small dislocation densities is derived, allowing one to identify the nonlinear effects that do not appear in the linearized setting.
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