Stochastic PDE Limit of the Six Vertex Model
Stochastic PDE Limit of the Six Vertex Model
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六顶点模型的随机偏微分方程极限
DOI：
10.1007/s00220-019-03678-z
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发表时间：
2020
影响因子：
2.4
通讯作者：
Tsai, Li-Cheng
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Corwin, Ivan;Ghosal, Promit;Shen, Hao;Tsai, Li-Cheng
本文研究了随机六顶点模型，证明了在弱非对称标度（即，当参数放大到铁电/无序相临界点时，其高度函数涨落收敛于Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程的解。我们还证明了对称六顶点模型的一维随机吉布斯态族在相同的尺度下收敛于随机Burgers方程的定态解。我们的证明依赖于我们模型的马尔可夫（自）对偶性。出发点是一个精确的微观霍普夫-科尔变换的随机六顶点模型，从该模型的已知的单粒子马尔可夫自对偶。给出这种变换后，关键的一步是建立变换后的高度函数的特定二次函数的自平均。我们使用该模型的两粒子自对偶产生明确的表达式（作为贝特animals轮廓积分）的条件期望，从中我们提取时间去相关，因此在时间上的自平均。我们的马尔可夫对偶方法的关键是，整个收敛结果减少到精确估计的一个粒子和两个粒子的转移概率。在我们的工作之前，马尔可夫对偶仅用于证明粒子系统收敛于线性高斯SPDE（例如，具有加性噪声的随机热方程）。
We study thestochasticsix vertex model and prove that under weak asymmetry scaling (i.e., when the parameterso as to zoom into the ferroelectric/disordered phase critical point) its height function fluctuations converge to the solution to the Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation. We also prove that the one-dimensional family of stochastic Gibbs states for thesymmetricsix vertex model converge under the same scaling to the stationary solution to the stochastic Burgers equation. Our proofs rely upon theMarkov (self) dualityof our model. The starting point is an exact microscopic Hopf–Cole transform for the stochastic six vertex model which follows from the model’s known one-particle Markov self-duality. Given this transform, the crucial step is to establishself-averagingfor specific quadratic function of the transformed height function. We use the model’s two-particle self-duality to produce explicit expressions (as Bethe ansatz contour integrals) for conditional expectations from which we extract time-decorrelation and hence self-averaging in time. The crux of our Markov duality method is that the entire convergence result reduces to precise estimates on the one-particle and two-particle transition probabilities. Previous to our work, Markov dualities had only been used to prove convergence of particle systems to linear Gaussian SPDEs (e.g. the stochastic heat equation with additive noise).
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--
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--
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