On the optimal map in the $ 2 $-dimensional random matching problem
On the optimal map in the $ 2 $-dimensional random matching problem
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关于$2$维随机匹配问题中的最优图
DOI：
10.3934/dcds.2019304
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发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Dario Trevisan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
L. Ambrosio;Federico Glaudo;Dario Trevisan
我们表明，在 $2$ 维紧流形上，半离散随机匹配问题中的最优传输图通过恒等式加上泊松问题 $-\Delta f^{n,t} = \mu^{n,t}-1$ 的解的梯度在 $L^2$-范数中很好地逼近，其中 $\mu^{n,t}$ 是与随机点相关的经验测量的适当正则化。这表明卡拉乔洛等人的 ansatz。 （欧几里德二分匹配问题的缩放假设）除了最佳匹配成本的值之外，还足以捕获最佳映射的行为。
作为我们策略的一部分，我们证明了紧凑流形上最优传输图的新稳定性结果。
We show that, on a $2$-dimensional compact manifold, the optimal transport map in the semi-discrete random matching problem is well-approximated in the $L^2$-norm by identity plus the gradient of the solution to the Poisson problem $-\Delta f^{n,t} = \mu^{n,t}-1$, where $\mu^{n,t}$ is an appropriate regularization of the empirical measure associated to the random points. This shows that the ansatz of Caracciolo et al. (Scaling hypothesis for the Euclidean bipartite matching problem) is strong enough to capture the behavior of the optimal map in addition to the value of the optimal matching cost.
As part of our strategy, we prove a new stability result for the optimal transport map on a compact manifold.