The Dirichlet principle for inner variations
The Dirichlet principle for inner variations
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内变分的狄利克雷原理
DOI：
10.1007/s00208-020-02133-y
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发表时间：
2021
影响因子：
1.4
通讯作者：
Onninen, Jani
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Iwaniec, Tadeusz;Onninen, Jani
本文研究复平面上定义在域上的映射的Dirichlet能量。狄利克雷原理，这个名字是由黎曼创造的，它告诉我们调和映射的外变分增加了它的能量。令人惊讶的是，当一个人跳到内部变化的细节，这只是一个独立变量的变化，新的方程和相关的问题开始重要。内部变分方程，称为霍普夫-拉普拉斯方程，不再是拉普拉斯方程。它的解一般不是调和的，我们称之为霍普夫调和函数。自然出现的问题是如何改变变量域的霍普夫调和映射影响其能量？我们表明，在其他结果中，在一个简单的连接域的情况下，能量增加。这应该被看作是黎曼的狄利克雷原理的霍普夫谐波。高连通域中的Hopf调和函数的狄利克雷原理尚未完全解决。使问题复杂化的是相关的Hopf二次微分的轨迹的全局结构的知识不足，主要是因为经常性的轨迹的存在。尽管如此，只要霍普夫微分允许闭合轨迹和横切，我们就建立了狄利克雷原理。不管这些假设，我们建立了所谓的无穷小Dirichlet原理的所有区域和所有的霍普夫调和。准确地说，Hopf调和映射的内变差的二阶项总是非负的。
We are concerned with the Dirichlet energy of mappings defined on domains in the complex plane. The Dirichlet Principle, the name coined by Riemann, tells us that theouter variationof a harmonic mapping increases its energy. Surprisingly, when one jumps into details aboutinner variations, which are just a change of independent variables, new equations and related questions start to matter. The inner variational equation, called theHopf–Laplace equation, is no longer the Laplace equation. Its solutions are generally not harmonic; we refer to them asHopf harmonics. The natural question that arises is how does a change of variables in the domain of a Hopf harmonic map affect its energy? We show, among other results, that in case of a simply connected domain the energy increases. This should be viewed as Riemann’s Dirichlet Principle for Hopf harmonics. The Dirichlet Principle for Hopf harmonics in domains of higher connectivity is not completely solved. What complicates the matter is the insufficient knowledge of global structure of trajectories of the associated Hopf quadratic differentials, mainly because of the presence of recurrent trajectories. Nevertheless, we have established the Dirichlet Principle whenever the Hopf differential admits closed trajectories and crosscuts. Regardless of these assumptions, we established the so-calledInfinitesimal Dirichlet Principlefor all domains and all Hopf harmonics. Precisely, the second order term of inner variation of a Hopf harmonic map is always nonnegative.
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