On Convergence of the Cavity and Bolthausen’s TAP Iterations to the Local Magnetization
On Convergence of the Cavity and Bolthausen’s TAP Iterations to the Local Magnetization
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关于腔和 Bolthausen 的 TAP 迭代对局部磁化强度的收敛
DOI：
10.1007/s00220-021-04103-0
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发表时间：
2021
影响因子：
2.4
通讯作者：
Tang, Si
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Chen, Wei-Kuo;Tang, Si
在Sherrington-Kirkpatrick模型中，空腔和TAP方程是高维的局部磁化非线性方程组。在开创性的工作中，Bolthausen（Commun Math Phys 325（1）：333-366，2014）介绍了一种迭代方案，如果模型位于Almeida-Almeidaless过渡线内，该方案将产生TAP方程的渐近解。然而，这是不清楚的，如果这个渐近解决方案符合当地的磁化。本文从腔方程出发，引入了一种新的迭代格式，建立了一个弱大数定律。我们表明，我们的新方案与所谓的近似消息传递算法（Bolthausen迭代的推广）渐进相同，该算法已广泛应用于压缩传感、贝叶斯推断等领域。在此基础上，我们确认我们的腔迭代和Bolthausen的方案只要重叠局部均匀集中，就都收敛于局部磁化。
The cavity and TAP equations are high-dimensional systems of nonlinear equations of the local magnetization in the Sherrington–Kirkpatrick model. In the seminal work, Bolthausen (Commun Math Phys 325(1):333–366, 2014) introduced an iterative scheme that produces an asymptotic solution to the TAP equations if the model lies inside the Almeida–Thouless transition line. However, it was unclear if this asymptotic solution coincides with the local magnetization. In this work, motivated by the cavity equations, we introduce a new iterative scheme and establish a weak law of large numbers. We show that our new scheme is asymptotically the same as the so-called approximate message passing algorithm, a generalization of Bolthausen’s iteration, that has been popularly adapted in compressed sensing, Bayesian inferences, etc. Based on this, we confirm that our cavity iteration and Bolthausen’s scheme both converge to the local magnetization as long as the overlap is locally uniformly concentrated.
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