$h^\ast $-polynomials of zonotopes
$h^\ast $-polynomials of zonotopes
复制标题
$h^ast $-配带位多项式
DOI：
10.1090/tran/7384
复制
发表时间：
2016
影响因子：
1.3
通讯作者：
E. McCullough
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
M. Beck;Katharina Jochemko;E. McCullough
格子多胞形 $P$ 的 Ehrhart 多项式对 $P$ 的正积分膨胀中整数格点的数量信息进行编码。 $P$ 的 $h^\ast$ 多项式是其 Ehrhart 多项式的生成函数的分子多项式。区域空间是高维立方体的任何投影。我们根据排列的精化下降统计给出了格子区域的 $h^\ast$-多项式的组合描述，并证明每个格子区域的 $h^\ast$-多项式只有实数根，因此具有单峰系数。此外，我们提出了一个以拟阵项表示的区域位域 $h^\ast$ 多项式的闭合公式，该公式类似于 Stanley (1991) 对 Ehrhart 多项式的结果。我们的结果不仅适用于 $h^\ast$-多项式，而且适用于一般组合正估值。此外，我们给出了给定维度中所有带位域$h^\ast$-多项式的凸包的完整描述：它是一个由精炼欧拉多项式跨越的单纯锥体。
The Ehrhart polynomial of a lattice polytope $P$ encodes information about the number of integer lattice points in positive integral dilates of $P$. The $h^\ast$-polynomial of $P$ is the numerator polynomial of the generating function of its Ehrhart polynomial. A zonotope is any projection of a higher dimensional cube. We give a combinatorial description of the $h^\ast$-polynomial of a lattice zonotope in terms of refined descent statistics of permutations and prove that the $h^\ast$-polynomial of every lattice zonotope has only real roots and therefore unimodal coefficients. Furthermore, we present a closed formula for the $h^\ast$-polynomial of a zonotope in matroidal terms which is analogous to a result by Stanley (1991) on the Ehrhart polynomial. Our results hold not only for $h^\ast$-polynomials but carry over to general combinatorial positive valuations. Moreover, we give a complete description of the convex hull of all $h^\ast$-polynomials of zonotopes in a given dimension: it is a simplicial cone spanned by refined Eulerian polynomials.